第三章静电场及其边值问题的解.ppt

* 上半空间( z≥0 ）的电位函数 q 导体平面上的感应电荷密度为 导体平面上的总感应电荷为 * 2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 镜像线电荷： 满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。 电位函数 原问题 有效区域 当z=0时， * 3.6.2. 导体劈间的点电荷 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1, d2 )处。 　 显然，q1 对平面 2 以及q2 对平面 1 均不能满足边界条件。　 对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 ) 只有在(－d1, －d2 )处再设置一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能 得到满足。 电位函数 q ? d1 d2 1 2 R R1 R2 R3 q1 d1 d2 d2 q2 d1 q3 d2 d1 * 例3.6.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？。 q q x ? =∞ ?0 d -d 解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至无穷远时电场力所做的功。　 　 由镜像法，感应电荷的电场可以 用像电荷q＝－q 替代。当电荷q 移 至x时，像电荷q应位于－x，则有 * 3.6.3 导体圆柱面的镜像 问题：如图 1 所示，一根电荷线密度为 的无限长线电荷位于半径为a 的 无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为d。 图1 线电荷与导体圆柱 图2 线电荷与导体圆柱的镜像 特点：在导体圆柱面上有感应电荷， 圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共 同产生。 分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与 轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。 线电荷对接地导体圆柱面的镜像 * 由于上式对任意的都成立，因此，将上式对求导，可以得到 由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即 所以有 设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为 ，则由 和 共同产生的电位函数 * 导体圆柱面外的电位函数： 由 时， 故 导体圆柱面上的感应电荷面密度为 导体圆柱面上单位长度的感应电荷为 导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。 * 3.7 分离变量法 将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。 　分离变量法是求解边值问题的一种经典方法　 　分离变量法的理论依据是惟一性定理 　分离变量法解题的基本思路： * 在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为 3.7.1 直角坐标系中的分离变量法 将? (x,y)表示为两个一维函数X(x)和Y(y)的乘积，即 将其代入拉普拉斯方程，得 再除以X(x) Y(y) ，有 分离常数 * 若取λ＝－k2 ，则有 当 当 * 将所有可能的 ? (x,y)线性叠加起来，则得到位函数的通解，即 若取λ＝k2 ，同理可得到 通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。 * 例3.7.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。 解：位函数满足的方程和边界条件为 因 ? (0,y)＝0、 ? (a,y)＝0，故位函数的通解应取为 * 确定待定系数 * 将U0 在（0，a）上按 展开为傅立叶级数，即 其中 * 由 故得到 * 3.7.2 圆柱坐标系中的分离变量法 令其解为 代入方程，可得到 由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程 在圆柱坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为 通常? (ρ, ? )随变量? 的变化是以 2? 为周期的周期函数。因此，分离常数 k 应为整数，即k ＝n ( n＝0,1,2,…)。 * 当n = 0时 考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式 当n ≠ 0时 * 解 选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向与x 轴一致，即 当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与z 无关。解的形式可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条件： 例 3.7.2 均匀