第三章晶格振动31简谐震动简正坐标.ppt

第三章 晶格振动与晶体的热学性质 晶格振动 :原子在格点附近的振动。热学性质 杜隆－珀替经验规律： 一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均分定律，每个自由度平均热能为kT，摩尔热容量3Nk＝3R（经典理论结果）；但在较低温度下，热容量随着温度的降低而下降。 实际上： 晶格振动还是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础；晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等都有密切关系 晶格中原子间存在相互作用力，各原子振动相互联系着的，在晶体中形成了各种模式的波 简谐近似下，这些模式是相互独立的 这些谐振子的能量量子，称为声子；晶格振动的总体可看作是声子的系综 由于晶格周期性，模式所取的能量值是分立的；用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式 §3.1 简谐近似和简正坐标 简谐近似:只考虑最近邻原子之间的相互作用，将原子在平衡位置的振动看成简谐振动（线性近似） 研究对象:由N个质量为m的原子组成的晶体 偏离平衡位置的位移矢量 原子的瞬时位置： 第n个原子的平衡位置 （格点位置） 3个方向上的分量 原子位移宗量 N个原子的位移矢量共有3N个分量 N个原子体系的势能函数: （用标量表示）。在平衡位置按泰勒级数展开 取 平衡位置 —— 不计高阶项 系统的势能函数 系统的哈密顿量 系统的势能函数 系统的动能函数 应用上式求解系统的问题，由于存在坐标的交叉项而变得非常困难 引入简正坐标 （ 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来） 系统的哈密顿量： 拉格朗日函数： 正则动量： 由于动能为正定的，根据线性代数理论，总可以找到这样的变换，使得 系统的哈密顿量 正则方程 3N个独立的方程 简正坐标方程解 正则动量 只考察某一个振动模 固体中的原子是一个具有相互作用的多粒子复杂系统，通过 引入简正坐标，而将系统简化为3N个相互独立的震动模式。 简正振动 ： 晶体中所有原子参与振动，振动频率相同 振动模 ： 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动 正则动量算符 系统薛定谔方程 相关量子理论 任意一个简正坐标 —— 谐振子方程 能量本征值 本征态函数 — 厄密多项式 系统能量本征值 系统本征态函数 N个原子组成的晶体 系统薛定谔方程 同样是建立在简正坐标的基础上的！