线性代数智能化教学系统第1节.ppt

第4章 相似矩阵与二次型 本章主要介绍正交矩阵、相似矩阵的概念，矩阵的特征值、特征向量的概念及求法，n 元二次型、正定二次型的概念，化二次型为标准形以及正定二次型的判别方法等． 　　本章所讨论的矩阵均为方阵，矩阵中元素都是实数． 第4.1节 正交矩阵 向量的内积 正交向量组 正交矩阵 正交规范化 在解析几何中，我们曾引进了向量的数量积 4.1.1 向量的内积 并由此定义了非零几何向量的夹角 x · y =｜x｜｜y｜cos? ， 且在直角坐标系中，有 (x1 , x2 , x3)·(y1 , y2 , y3)= x1 y1+ x2 y2+ x3 y3 ， 向量的这些概念推广到n 维向量，定义n 维向量的内 向量 x 的长度 等概念， 下面我们把几何 积、长度和夹角． 定义4.1.1 设有 n 维向量 显然，当 x 与 y 都是列向量时，有 令 (x , y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn， 称为向量x 与 y的内积． (x , y)= xT y = yTx （1） (x, y) = (y, x); （2） (?x, y) = ?(x, y); （3） (x + y, z) = (x, z) + (y, z); （4） (x, x) ? 0, 且当 x ? 0 时有 (x, x) 0. 下列性质： 设 x, y, z 为 n 维向量，? 为实数，则内积有 定义4.1.2 令 || x || 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或范数 ). 向量的长度具有下列性质: (1) 非负性 当 x ? 0 时, || x || 0; 当 x = 0 时, || x || = 0. (2) 齐次性 || ?x || = |?| || x || ; (3) 三角不等式 || x + y || ? || x || + || y ||. 当 || x || = 1 时, 称 x 为单位向量. 任一非零向量 除以它的长度后就成了单位向量． 将向量单位化． 这一过程称为 定义4.1.3 当(x , y)= 0时，称向量 x 与 y 正交(或垂直)． 量与任何向量正交. 显然,若x = 0, 则 x 与任何向量都正交，即零向 定义4.1.4 若一个不含零向量的向量组中任 意两个向量都正交，则称此向量组为正交向量组． 4.1.2 正交向量组 正交向量组有以下性质． 定理4.1.1 若n 维向量 ?1，?2，… ，?r 是正交 向量组，则 ?1，?2，… ，?r 线性无关． 例如向量组 x y z 是正交向量组，其几何意义如 图所示． 例1 已知3维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量 ?3 使 ?1，?2，?3 两两正交. 4.1.3 向量组的正交规范化 定义 设n 维向量 e1，e2，… ，er 是向量空 间V（V ? Rn）的一个基， 如果e1，e2，… ，er两 两正交，且都是单位向量， 是 V 的一个规范正交基． 例如 是R4 的一个规范正交基． 则称e1，e2，… ，er 若e1，e2，… ，er是V的一个规范正交基，那么 V中任一向量 ? 应能由e1，e2，… ，er线性表示， 设表示式为 ? = ?1 e1 + ?2 e2 + … + ?r er ， 为求其中的系数?i ( i = 1, …, r)，可用eiT 左乘上式， 有 eiT? = ?i eiTei = ?i ， 即 这就是向量在规范正交基下的坐标计算公式．利用这个公式能方便地求得向量的坐标，因此，我们在给向量空间取基时常常取规范正交基． ?i = eiT? =(?，ei) 设 ?1，… ，?r 是向量空间V的一个基，要求V 的一个规范正交基． 这也就是要找一组两两正交的 单位向量e1，…，er ，使 e1，… ，er 与?1，… ，?r 等价． 这样一个问题，称为把 ?1，… ，?r 这个 基规范正交化． 我们可以用以下办法把 ?1，…，?r 规范正交化. 取 容易验证 ?1，…，?r 两两正交，且 ?1，…，?r 与 ?1 ，…，?r 等价． 然后只要把它们单位化，即 就是V的一个规范正交基． 等价，还满足：对任何k ( 1 ≤ k ≤ r )，向量组 上述从线性无关向量组 ?1，… ，?r 导出正交 向量组 ?1，… ，?r 的过程称为施密特(Schimidt) 正交化过程． 它不仅满足 ?1，…，?r 与