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第一章 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数、极限与连续 第一章 二、两个常用的不等式 三、函数 一、邻域 第一节 函 数 四、初等函数 首先回顾一下中学所学过的有关 集合、数集、函数的概念。 集合的概念 集合 具有某种特定性质的事物的总体. 元素 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 集合与元素的关系: 由无限个元素组成的集合称为无限集. 由有限个元素组成的集合称为有限集. 集合举例 年在福建地区出生的人. 集合的概念 集合举例 年在福建地区出生的人. 方程 的根. 全体奇数. 抛物线 上的所有点. 集合表示方法 例举法: 即在 中按任意顺序、不遗漏、不 重复地列出集合的所有元素. 例如 若 仅由有限个元素 组成, 集合的概念 例举法: 即在 中按任意顺序、不遗漏、不 重复地列出集合的所有元素. 例如 若 仅由有限个元素 组成, 可记为 由方程 的根构成的集合, 可记为 描述法: 所具有的特征 由方程 的根构成的集合, 集合的概念 描述法: 所具有的特征 由方程 的根构成的集合, 可记为 全体奇数的集合, 可记为 集合之间的关系 若 则称 是 的子集, 记为 就称集合 和 相等, 若 且 集合的概念 就称集合 和 相等, 若 且 记为 例如, 记为 则称集合 是 的真子集, 若 且 空集 不包含任何元素的集合, 记为 规定: 例如, 空集为任何集合的子集. 集合的概念 规定: 空集为任何集合的子集. 数集分类: 自然数集 实数集 整数集 有理数集 数集间的关系: 注: 如无特别说明, 本课程中提到的数都是实数. 数集 元素都是数的集合称为数集. 集合的运算 设 是两个集合, 定义 与 的并集(简称并) 与 的交集(简称交) 与 的差集(简称差) 当所研究的问题限定在一个大的集合 中进行, 所研究的其他集合 都是 的子集. 定义 的余集 与 A x x ? | { B A = U 且 A x x ? | { B A = I B A = - 且 A x x ? | { 集合的运算 当所研究的问题限定在一个大的集合 中进行, 所研究的其他集合 都是 的子集. 定义 的余集 或补集 例如, 在实数集 中, 集合 的余 集就是 或 集合的基本运算规律 设 为任意三个集合, 则有下列法则成立: 交换律 结合律 分配律 对偶律 证 且 且 集合的基本运算规律 证 且 且 注 以上证明中, 符号“ ”表示“等价”, 另一个 常用符号是“ ”, 表示“推出”(或“蕴含”). 两集合间的直积或笛卡尔 乘积 设 是任意两个集合, 任取 组成 一个有序对 以这样的有序对的全体组成的 记为 集合称为集合 与集合 的直积, 集合的基本运算规律 设 是任意两个集合, 任取 组成 一个有序对 以这样的有序对的全体组成的 记为 集合称为集合 与集合 的直积, 且 如 即为 面上全 体点的集合, 常记作 区间 定义 介于某两个实数之间的全体实数称为区间, 这两个实数叫做区间的端点. 设 且 定义 开区间 闭区间 半开区间 无限区间 特别地 区间演示图 区间 无限区间 特别地 区间的长度 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 在本书中，当不需要特别辨明区间是否包含端点、 是有限还是无限时，常将其简称为“区间”，并 常用I表示。 一、邻域的概念 定义 设 与 是两个实数, 且 数集 称为点 的 邻域. 记为 其中, 叫做该邻域的半 径. 点 叫做该邻域的中心, 记为 即 点 的去心的 邻域, 以 为中心的任何开区间均是点 的邻域, 记为 ). ( a U 一、邻 域的概念 另外，今后还将用到以下的左、右邻域概念. 开区间 称为 的右 邻域, 开区间 称为 的左 邻域, 二、两个重要的不等式 三角不等式 对于任意的实数 和 , 都有 平均值不等式 对于任意 个正数 ,恒有, 当且仅当 全部相等时,上式等号才成立。 二、两个重要的不等式 伯努利不等式 这几个不等式在极限存在的证明中经常用到， 对于正整数 和实数 ,恒有 因此要牢牢记住。 当 且 时, 不等式严格成立.