解析几何第四版吕林根课后习题答案第二章.docx

第二章 轨迹与方程 §2.1 平面曲线的方程 1.一动点 M 到 A (3,0) 的距离恒等于它到点 B( 6,0) 的距离一半， 求此动点 M 的轨迹方程， 并指出此轨迹是什么图形？ 解：动点 M 在轨迹上的充要条件是 MA 1 MB 。设 M 的坐标 ( x, y) 有 2 1 ( x (x 3) 2 y 2 6)2 y 2 化简得 ( x 6) 2 y2 36 2 故此动点 M 的轨迹方程为 ( x 6)2 y 2 36 此轨迹为椭圆 2.有一长度为 2a (a ＞ 0）的线段，它的两端点分别在 x 轴正半轴与 y 轴的正半轴上移动， 是求此线段中点的轨迹。 A，B为两端点，M 为此线段的中点。 解：如图所示 设 .则 x y A(x, o), B(o, y) M ( , 在 AOB 中有 2 2 ( x2 y2 ) (2 a)2 . 把 M 点的 坐标代入 此式得 : ( x2 y2 ) a2 ( x 0, y 0) .∴此线段中点的轨 迹为 ( x2 y2 ) a2 . 一动点到两定点的距离的乘积等于定值m2 ,求此动点的轨迹 . 解: 设两定点的距离为 2a ,并取两定点的连线为 x 轴 , 两定点所连线段的中垂线为 y 轴.现有 : AM BM m2 .设 M (x, y) 在 Rt BNM 中 (a x)2 y2 AM 2 (1) 在 Rt BNM 中 . (a x)2 y2 BM 2 (2) 由 (1) (2) 两式得 : . (x2 y2 )2 2a2 ( x2 y2 ) m4 a4 . 4.设 P, Q, R 是等轴双曲线上任意三点 ,求证 PQR 的重心 H 必在同一等轴双曲线上 . 证明 : 设等轴双曲线的参数方程为  x ct c P( x1, y1 ) , Q( x2 , y2 ) , R( x3 , y3 ) . 重心 H y t ( x1x2 x3 , y1y2 y3 ) 3 3 5.任何一圆交等轴双曲线 xy c2 于四点 P(ct1, c ) , Q (ct2 , c ) , R(ct3, c ) 及 S(ct4 , c ) .那么 t1 t2 t3 t4 一定有 t1t2t3t4 1 . 证明 : 设圆的方程 x2 y2 2Dx 2Ey F 0 . 圆与等轴双曲线交点 (ct , c ) , 则代入得 t 2 2 c2 2Dct 2Ec F 0. 整理得: 2 4 2Dct 3 Ft 2 2Ect c 2 0.可知 c t t 2 t c t (i 1 , 2 , 是3它的四个根 ,则有韦达定理 t1 t2 t 3 t4 ( 4 c 2 1 . 1) 2 c 8. 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程. 1 1 1 ⑴ y 2 x 3 ; ⑵ x 2 y 2 a 2 , a 0 ; ⑶ x 3 y3 3axy 0, a 0 . 2 解: ⑴ x t 3 y t 令 x a cos4 1 1 得 y 2 a 2 参数方程为  1 1 1 , 代入方程 x 2 y 2 a 2 1 1 a 2 cos2 a2 sin 2 , y a sin 4 x a cos4 . y a sin 4 ⑶令 y tx, 代入方程 x 3 y 3 3axy 0 得 1 t 3 x3 3atx 2 0 x 2 1 t 3 x 3at 0 x 0或x 3at 1 t 3 当 x 0时 , y 0; 当 x 3at 3at 2 1 t 3 时 , y 1 t 3 3at x 3 故参数方程为 1 t . 3at 2 y t 3 1 §2.2 曲面的方程 1、 一动点移动时，与 A(4,0,0) 及 xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点 M ( x, y, z) ，所求的轨迹为 C ， 则 M ( x, y, z) C MA z 亦即 (x 4) 2 y 2 z2 z (x 4) 2 y2 0 由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为 (x 4) 2 y 2 0 2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： 1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； 2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； 3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹； 4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：（ 1）取二定点的连线为 x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的 常数为 m ，二定点的距离为 2a ，则二定点的坐标为 ( a,0,0),( a,0,0) ，设动点 M (x, y, z) ， 所求的轨迹为 C ，则 M (x, y, z) C ( x