高次方程及解法.doc

精心整理 精心整理 . . 高次方程及解法 ?????????江苏省通州高级中学?徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。 一、1判根法 在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。求出方程的1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。“1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。 例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0 解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1), (x4+2x3-9x2-2x+8)(x-1)=x3+3x2-6x-8 观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），（x3+3x2-6x-8）(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0,原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1)(x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2=-1;当(x-2)=0时，有x3=2;当(x+4)=0时，有x4=-4 点拨提醒：在运用“1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。 二、常数项约数求根法 根据定理:“如果整系数多项式anxn＋an-1xn-1++a1x+a0可分解出因式px-q,即方程anxn＋an-1xn-1++a1x+a0=0有有理数根（Ｐ、Q是互质整数），那么，Ｐ一定是首项系数an的约数，Q一定是常数项a0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。 “常数项约数求根法”分为两种类型： 第一种类型：首项系数为1。对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。 例1解方程x4+2x3-4x2-5x-6=0 解：第一步：首先列出“常数项”-6的所有约数1、2、3、6 第二步：将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程中所含的“带根”因式。根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排除1根，f(2)=16+16-16-10-6=0 f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式（x-2）（x+3） 第三步：用长除法将原方程降次。（x4+2x3-4x2-5x-6）(x-2)(x+3)=x2+x+1 第四步：解一元二次方程x2+x+1=0 x== x1=x2=x3=2x4=-3 第二种类型，首项系数不为1。对首项系数不为１的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是而不是Ｑ，因为此时原方程的因式是（Ｐx－Ｑ），其余的解法步骤同首项系数为１的解法步骤相同。 例２　解方程３x3-２x2＋９x-6＝０ 解：将原方程化为３（x3-x2＋３x-２）＝０此时，“常数项”为-2，它的约数为1，，根据“1判根法”排除1，这时，代人原方程验算的只能是=，或=- f()=3=30=0 所以原方程中有因式（3x-2）。 （3x3-２x2＋９x-6）(3x-2)=x2+3 解方程式x2+3=0x=， x1=　，x2=- 原方程的解为x1=　，x2=，x3= 三、倒数方程求根法 1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如ax4+bx3+cx2+dx+e=0,其中，或者a=-e,b=-d 2、性质：倒数方程有三条重要性质： （1）倒数方程没有零根； （2）如果a是方程的根，则也是方程的根； （3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1)或(x-1)后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。 3、倒数方程求解方法： 如果ax4+bx3+cx2+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x0,所以，方程两边同除以x2得：a(x2+)+b(x+)+e=0,令x+=y,x2+=y