第4章 振动和波.pdf

宇宙的琴弦 第4 章 振动和波 第4 章 振动和波 §4.1 振动的概念和分类 大千世界，林林总总；物质运动，多种多样。有质点也有刚体；有平抛也有定轴。这一 节，我们来研究一种非常有趣的运动——在某位置附近来回往复运动。我们把它称为振动。 例如心跳，地震，手机振动。当然，振动远不止这些。凡是在某位置附近来回往复变换都属 于振动，比如电感与电容串联电路中的电压、电流在某一值附近周期性变换也属于振动。 振动虽然很多，但大体上可归结为三类： 1、简谐振动 比如在屋顶上挂一弹簧，弹簧下挂一物体，给物体一个向下的瞬时速度使之运动起来。 物体会上下来回往复运动。若忽略空气阻力，物体将永远运动下去。这种既没有摩擦阻力， 也没有人为干扰，既简单又和谐的振动称为简谐振动。类似的还有LC 振荡。 2、阻尼振动 长大了才明白，童话里都是骗人的。不吃饭就会饿死，不充值就会停机。没有人能长生 不老，所谓神仙都是人类编出来自欺欺人的谎言。真实的世界怎么可能没有摩擦阻力呢？比 如将灯管拉开一定角度后松手，摆角会逐渐减小，直至停下。这种受到阻力而逐渐停下来的 振动，称为阻尼振动。类似的还有RLC 振荡。 3、受迫振动 达尔文告诉我们，真实的世界不仅有自然选择，还有人工选择。树欲静而风不止，秋千 受到阻力想停下来，顽皮的孩子偏偏不让它停下来，使它一直保持一定角度来回运动。这种 受到强迫的振动称为受迫振动。我们要向贝多芬那样扼住命运的咽喉，不向它屈服——命运 向我露出爪牙，我向它做个鬼脸。你的苦我心智，劳我筋骨，饿我体肤非但没有乱我所为， 反而使我动心忍性，愈挫愈奋，增益我所不能——我不怕负能量，因为我可以补充足够的正 能量。我可以外加交流电动势，让RLC 电路一直振荡下去。 以上介绍了三类振动。实际情况复杂得多，有可能既无阻尼也不受迫（简谐振动），也 有可能有阻尼但不受迫（阻尼自由振动），还有可能没有阻尼但受迫（无阻尼受迫振动），或 者既有阻尼又受迫（阻尼受迫振动）。 §4.2 简谐振动 虽然真实世界没有简谐振动，但很多时候阻力很小，可近似为简谐振动。并且认识的规 律是从简单到复杂，从理想到现实。我们应先搞清楚最简单的，再逐渐加入参数，认识复杂 的现实世界。如一上来就把所有因素考虑进去，就什么也研究不出来。如连正方体的体积都 不会算，又怎能弄懂圆柱圆锥和球的体积呢？所以，让我们从最简单最和谐的简谐振动开始。 §4.2.1 简谐振动的运动方程 光滑水平面上，将劲度系数k 的弹簧一端固定，另一端连一质量m 的物体。弹簧最初 1 Lectures on College Physics The Elegant Universe 没拉伸也没压缩。在某一时刻给物体一个水平向右的瞬时冲力，使之获得一水平向右的初速 1 2 度v 。以平衡位置为坐标原点，则物体从平衡位置向右运动到任意位置x 处，弹力做功 kx ； 2 1 2 若以平衡位置为零势能点，则物体运动至与平衡位置相距A 米处，弹性势能为 kA ；松手 2 后，物体在指向平衡位置的回复力作用下回到平衡位置。此时弹簧恢复原长，物体所受合力 为零，加速度为零；但此时弹簧的弹性势能转化为物体的动能，物体具有向左的速度，而继 续向左运动，压缩弹簧。当弹簧压缩量为 A 时，动能全部耗尽，物体速度减为零，但受到 指向平衡位置的回复力，加速度不为零，于是向右运动。当