行列式定义性5质与计算.ppt

作业： 20页 1 (1) (2)  21页 2 3 (1) 《线性代数》 下页 结束 返回 2010-2011第一学期 线性代数 任课教师：田祥 部 门：信息学院 办公室：文理大楼 721 室 E-mail：txiang8@163.com 下页 一 《线性代数》的发展过程 二、线性代数的主要研究对象 a11x1+a12x2+ ??? +a1nxn =b1 a21x1+a22x2+ ??? +a2nxn =b2 am1x1+am2x2+ ??? +amnxn=bm ??? ??? ??? ??? ??? 线性方程组如何求解？ 方程组有解？ 是唯一解？ 无解，停 求唯一解，停 求通解，停 Y N Y N 第1章 行列式 1.1 二三阶行列式 用消元法解二元一次方程组 (a11a22- a12a21) x2= a11b2- b1a21 (a11a22- a12a21) x1= b1a22- a12b2 第1节 行列式的概念 用a22和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得 同理，消去x1得 当 时，方程组的解为 下页 二阶行列式 当 时，方程组的解为 为便于叙述和记忆， 引入符号 D = D1 = 称D为二阶行列式. 按照二阶行列式定义可得 D2 = 于是，当D≠0时，方程组的解为 下页 j = 1，2，3 类似引入符号 其中D1, D2, D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式. 三阶行列式 求解三元方程组 称D为三阶行列式. 下页 25431 是一个5级排列. 如， 3421 是4级排例； 例1．写出所有的3级全排列. 解：所有的3级排列为： 321 . 312， 231， 213， 132， 123， 1.2 排列 n 个自然数1,2,…,n 按一定的次序排成的一个无重复数字的有序 数组称为一个 n 级排列，记为i1i2…in. 其中，排列12…n称为自然排列. 下页 显然，n 级排列共有个n! . 3 4 2 1 逆序数的计算方法(向前看法) 4 2 3 1 从而得 τ(3421)=5. 5 逆序及逆序数 定义1 在一个级排列i1i2 ? ? ?in中，若一个较大的数排在一个较小数 的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为 这个排列的逆序数，记为τ(i1i2 ? ? ?in). 下页 奇排列与偶排列 逆序及逆序数 定义1 在一个级排列i1i2 ? ? ?in中，若一个较大的数排在一个较小数 的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为 这个排列的逆序数，记为τ(i1i2 ? ? ?in). 逆序数是奇数的排列，称为奇排列. 逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列. 如 3421是奇排列， 1234是偶排列， 因为τ(3421)=5. 因为τ(1234)=0. 下页 定义3 符号 称为n阶行列式， 它表示代数和 其中和式中的排列 j1 j2 ? ? ? jn要取遍所有n级排列. 元素ai j 列标 行标 1.3 n 阶行列式 下页 n 阶行列式定义 a11 a21 … an1 a12 a22 … an2 a1n a2n … ann … … … … (3) n 阶行列式共有n!项. (-1) τ(j1 j2 ? ? ? jn) . 之前的符号是 n 个元素的乘积. (1) 在行列式中,项 是取自不同行不同列的 行列式有时简记为| a ij |.一阶行列式|a|就是a. = 说明： 下页 (2) 项 a14a23a31a44 a14a23a31a42 例1 四阶行列式 a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44 中（1）表示的代数和中共有多少项. （2） a14a23a31a42的符号？ 的列标排列为4312 不是，因为该项中有两个取自第四列的元素。 下页 (为奇排列)，该项的符号为负 （4!=24项） （3）问 中是否是四阶行列中的一项？ D = 行列式计算 解：根据行列式定义 例1．计算2 阶行列式D = 注：3阶行列式的计算类似，略. 下页 例2．计算 n 阶下三角形行列式D的值 其中aii?0(i=1, 2, ? ? ? , n). D = a11