5现代控制理论5李雅普诺夫稳定性分析精编版.ppt

* 证明 只证充分性。设选取李氏函数为 v[x(k), k]= xT(k)P(k)x(k) 因为P(k)是正定的实对称矩阵， v[x(k), k]是正定的。 ?v[x(k), k]= v[x(k+1), k +1] ? v[x(k), k] = xT(k+1)P(k+1)x(k+1) ? xT(k)P(k) x(k) = xT(k)GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)x(k) ?xT(k)P(k) x(k) = xT(k)[GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k) ? P(k)]x(k) = xT(k)[Q(k)]x(k) Q(k)= ? [GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k) ? P(k)] 由渐近稳定的充分条件当P(k)0正定时，Q(k)必须是正定的，才能使 ?v[x(k), k] 0 [证毕] * 2 . 判断的一般步骤 1）确定系统的平衡状态。 2）任选正定对称矩阵Q(k)，代入矩阵方程 GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k) ? P(k) = ?Q(k) 解出矩阵P(k+1)。该方程为矩阵差分方程，其解的形式为 3）判断P(k+1)的正定性，若正定，则系统是渐近稳定的，且李氏函数为 v[x(k), k]= xT(k)P(k)x(k) * 5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用 5.5.1 状态反馈的设计 在控制系统的设计中，若需通过状态反馈使闭环系统渐近稳定，除可利用状态反馈极点配置的方法外，还可以采用李氏第二法来确定系统的校正方案。 设单输入、单输出线性定常系统的状态方程为 若选取二次型函数为李氏函数，即 v(x) = xTPx = (Ax+Bu)TPx + xTP (Ax+Bu) = xTATPx + (Bu)TPx +xTPAx +xTPBu = xT (ATP+PA)x +[(Px)TBu ]T+ xTPBu * 如果选P使ATP + PA为负定的，同时选输入量为 u = ? kxTPB k 0 此时， 为负定的，则系统是渐近稳定的。而输入u= ?kxTPB是状态变量的线性组合，也正是前面介绍的状态反馈。 * 例5-14 设系统的结构图如图所示，对应的微分方程为 显然系统处于临界等幅振荡状态，属于李氏意义下的稳定系统。若用李氏第二法来决定控制规律u(t)，使系统变为渐近稳定的，如何选取校正方案。 解： 系统的状态方程为 1 s2 u x1 * 取标准二次型函数作为李氏函数，即 v(x) =x12 + x22 = xTPx P = I 除平衡点xe = 0外， 其值均不恒等于零，故系统是渐近稳定的。 当u = ? kx2 k 0 r 1 s u x2 1 s x1 1 s u x2 1 s x1 k 控制规律取自对x1的速度反馈，用速度反馈来镇定控制系统也是工程设计中常用的经典方法。 * 5.5.3 参数最优化设计 在线性系统中，常常使用各种积分指标来评价系统的控制品质。如误差绝对值积分（IAE）指标、误差平方积分（ISE）指标以及其他二次型积分指标。用李雅普诺夫方法可以评价这些积分指标。下面考察在二次型积分指标最小意义下，如何利用李雅普诺夫第二法使系统的参数最优。 设线性系统的状态方程为 其中系统矩阵A(?)表示A的某些元素依赖于可调参数?。参数?的选择原则是使二次型积分指标 达到最小，其中Q为正定或正半定常数矩阵。 * 由于矩阵A(?)所描述的系统应当是渐近稳定的，因此由指标J中给定的Q阵，可以通过李雅普诺夫方程 AT(?) P + PA(?) = ? Q 解出正定的含参数?的矩阵P(?)。也就可以选取李氏函数为 v(x) = xTP(?) x = xT(0)P(?) x(0) ? xT(?)P(?) x(?) = xT(0)P(?) x(0) = v(x)?t=0 这样