反函数典型例题.docx

反函数求值 例 1、设 有反函数 ，且函数 与 互为反函数，求 的值． 分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果． 解：设 ，则点 在函数 的图象上，从而点 在函数 的图象上，即 ．由反函数定义有 ， 这样即有 ，从而 ． 小结：利用反函数的概念， 在不同式子间建立联系， 此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解． 两函数互为反函数 , 确定两函数的解析式 例 2 若函数 与函数 互为反函数，求的值 . 分析：常规思路是根据已知条件布列关于 的三元方程组， 关键是如何 布列？如果注意到 g(x) 的定义域、值域已知，又 与 g(x) 互为反函数， 其定 义域与值域互换，有如下解法： 解：∵ g(x) 的定义域为 且 ， 的值域为 . 又∵ g(x) 的定义域就是 的值域 , ∴ . ∵g(x) 的值域为 , 由条件可知 的定义域是 , , . ∴ . 令 , 则 即点 (3,1) 在 的图象上 . 又 ∵ ∴ (3,1)  与 g(x) 关于  互为反函数 , 的对称点 (1,3)  必在  g(x)  的图象上 . ∴3=1+ , . 故 . 判断是否存在反函数 例 3、给出下列函数 : (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) . 其中不存在反函数的是 __________________. 分析 : 判断一个函数是否有反函数 , 从概念上讲即看对函数值域内任意一个 依照这函数的对应法则 , 自变量 总有唯一确定的值与之对应 , 由于这种判断难度较大 , 故通常对给 出的函数的图象进行观察 , 断定是否具有反函数 . 解: (1) ,(2) 都没有问题 , 对于 (3) 当 时, 和 , 且 . 对于(4) 时, 和 . 对于(5) 当 时, 和 . (3),(4),(5) 均不存在反函数 . 小结 : 从图象上观察 , 只要看在相应的区间内是否单调即可 . 求复合函数的反函数 例 4、已知函数 , , 求 的反函数 . 分析 : 由于已知是 , 所求是 的反函数 , 因此应首先由 找到 , 再由 求出 的表达式 , 再求反函数 . 解:令 ,则 , , , .于是有 . 由 得 ,由于 , . 又 , 的值域是 , 的反函数是 . 小结 : 此题涉及对抽象函数符号的认识与理解 , 特别是在换元过程中 , 相应变量的取值范围也要随之发生改变 , 这一点是学生经常忽略的问题 . 原来的函数与反函数解析式相同求系数 例 5、已知函数 与其反函数 是同一个一次函数 , 试指出 的所有取值可能 . 分析 : 此题可以有两种求解思路 : 一是求解 的反函数的解析式 , 与 比较 , 让对应系数相等 , 列出关于 的方程 , 二是利用两个函数 图象的对称性 , 找对称点 , 利用点的坐标满足解析式来列方程 . 解：由 知点 在图象上 , 则点 定在 的图象 , 于是 (1) 又 过点 , 则点 也在 的图象上 , 于是 (2) 由(1)  得  或  , 当  时, 代入 (2),  此时 (2)  恒成立即  ; 当  代入 (2)  解得  . 综上 , 的所有取值可能有 或 . 小结 : 此题是反函数概念与方程思想的综合 . 在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便 , 而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用 , 故对此种方法要引起重 视. 另外此题在最后作答时 , 要求写出 的所有取值可能即要把 的取值与 的取值 搭配在一起 , 所以解方程组时要特别小心这一点 . 选题角度： 反函数图象关系、 将反函数问题转化为原函数、 利用性质求解析式、 两函数互为反函数，确定两函数的解析式判断是否存在反函数、 求出反函数解析式解关于反函数的不等式、求复合函数的反函数、 由原来函数运算关系证明反函数运算。