信号与线性系统ch3_1~3.pdf

第三章 信号的时域分解 东南大学 信息科学与工程学院 §3-1 引 言 线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之 和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对 复杂信号的响应。 在时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分， 根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响 应。 东南大学 信息科学与工程学院 而在频域法中，我们将信号分解为一系列正弦函数的 和（或积分），通过系统对正弦信号的响应求解系统对 信号的响应。 频域在工程中也有很重要的意义。很多信号的特性与 频域都有很重要的关系。研究频域可以得到很多具有 实用价值的结论。 东南大学 信息科学与工程学院 如上章所述，通过信号分解的方法求解响应要研究下面几 个问题： 1）如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和（或积 分）。 2 ）如何求系统对各个正弦子信号的响应，这个内容在电 路分析课程中已经有详细介绍。 3 ）如何将各子信号的响应相叠加，从而合成系统对激励 信号的响应。 东南大学 信息科学与工程学院 本章将要研究的就是如 何对信号进行分解和合成。 东南大学 信息科学与工程学院 §3-2 信号在正交函数集中的分解 为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论矢量的分解。 一、 矢量的分解 1、矢量的定义 2 、矢量运算：加，标量乘法，矢量乘法 3、矢量的分解： 东南大学 信息科学与工程学院 1）矢量的单矢量基的分解：c A 近似矢量 A ——误差 1 1 尽可能小。 A c A +ε 1 1 从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小的系数为： A A 1 c 1 A A 1 1 其中的c1 称为矢量 A 和 A1 的相似系数。如果c1 0 A A 0 A A （或 1 ），则表明 和 1 相垂直（又称为正交）。 东南大学 信息科学与工程学院 2) 矢量的多矢量基分解： 将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合： n A c A + c A + ... + c A ∑c A 1 1 2 2 n n i i i 1 显然，如果知道了标准矢量Ai 和相应的系数 ci ，就 可以确定任意矢量。 如何确定最佳的系数ci ？情况比较复杂，对于特定的 i 而言，ci 不仅与特定的Ai 有关，与其它的标准矢量也 有关系。 东南大学 信息科学与工程学院 但是如果矢量 Ai 两两正交，可以证明： A A i c i A A i i 4 、 标准矢量基的几个限制条件： 1）归一化：标准矢量的模等于 1——公式分母可以化简。 2 ）正交化：标准矢量两两正交——便于计算各个系数。 3 ）完备性：可以不失真地组合出任意矢量。