信号与线性系统ch5_1~5.pdf

第五章 连续时间系统的复频域分析 东南大学 信息科学与工程学院 §5-1 引言——从FT 到 LT 一、 FT 的优点和不足 优点： 1、避免微分方程求解和卷积计算，简化了系统响应求解过 程； 2 、物理意义明确。如：谐波、频响、带宽等。 东南大学 信息科学与工程学院 不足： 1、只能处理满足收敛条件的信号，对某些不满足条件的信 号必须引入奇异函数解决，不方便； +∞ 2 、必须计算广义积分：∫−∞( )dx ，有时计算比较困难； 3、只能求系统的零状态响应。 东南大学 信息科学与工程学院 二、 拉普拉斯变换（LT ）的优点： 1、 可以自动引入初始条件，求系统的全响应； 2 、 变方程的微积分运算为乘除运算，变卷积运算为乘 法运算，计算过程简化； 3、 对信号的适应性比 FT 强，不用引入奇异函数； 拉普拉斯变换在电路分析课程中已经有所涉及，在本 课程中，将对拉普拉斯变换进行更加深入的研究。 东南大学 信息科学与工程学院 §5-2 拉普拉斯变换 一、 拉普拉斯变换的推导途径： 1、从数学角度：通过积分变换进行函数到函数的变换，将 微分方程变为代数方程。 2 、从物理意义推导：本质上依然是将信号分解为多个正交 的子信号的和（积分），或可以从 FT 推广出。 东南大学 信息科学与工程学院 从傅里叶变换导出拉普拉斯变换，可以更加清晰地解 释其物理含义，并且可以将两种变换紧密地联系起来。 二、 从 FT 到 LT FT 存在的条件是其积分结果收敛。 如果不收敛，可以考虑用收敛因子——将原信号乘以 −σt e ——强行使其收敛，再进行 FT 。 东南大学 信息科学与工程学院 例 1：原信号：f (t) eαtε(t) ， 新信号：f 1(t) f (t)e−σt e(α−σ)tε(t) 只要σ 足够大，使 (α−σ) 0 ，f 1(t) 总能收敛。 例 2: 原信号：f (t) eαtε(t) +eβtε(−t) ， 新信号：f 1(t) e(α−σ)tε(t) +e(β−σ)tε(−t) 当β α0 时， f (t) 负半边收敛，正半边发散。只 要β σ α ，f 1(t) 一定收敛。 −σt 通过乘以收敛因子e ，可以使原来不收敛的信号收 敛，从而可以用 FT 加以处理。 东南大学 信息科学与工程学院 假设原信号为 f (t) ，通过乘以收敛因子e−σt 后，新的 收敛的信号为 f 1(t) f (t)e−σt ，其FT 为： +∞ +∞ F (j ω) f (t )e −j ωt dt f (t )e −σt e −j ωt dt 1 ∫−∞ 1 ∫−∞ +∞ +∞ (σ j ω) t −st ∫−∞ f (t )e − + dt ∫−∞ f (t )e dt F (s ), 其中 s σ +j ω 或记作：