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中学数理化 直接证明与间接证明 中学数理化 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理. 推 理 合情推理 (或然性推理) 演绎推理 (必然性推理) 归纳 (特殊到一般) 类比 (特殊到特殊) 三段论 (一般到特殊) 中学数理化 例:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 因为b2+c2 ≥2bc,a0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 证明: 中学数理化 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: … 中学数理化 例:在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 例:在锐角三角形ABC中, 求证sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC 中学数理化 例:设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴(如图),证明直线AC经过原点O 4 2 -2 -4 -6 5 B A C O F 中学数理化 作业: A组2,B组2 中学数理化 经过证明的结论 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫做分析法. 特点:执果索因. 用框图表示分析法 得到一个明显成立的结论 … 复习 中学数理化 思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数 甲:208个,乙:112个,丙:64个 中学数理化 思考? A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎,为什么? 分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎. 中学数理化 反证法: 假设命题结论的反面成立,经过正确的推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。 反证法的思维方法: 正难则反 中学数理化 反证法的基本步骤: (1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成-------立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结 ------论正确 归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾; (2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾。 中学数理化 应用反证法的情形: (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论. (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题; (4)结论为 “唯一”类命题; 中学数理化 例1:用反证法证明: 如果ab0,那么 中学数理化 例2 已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有一个根。 中学数理化 P 例3:证明:圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分. 已知:在⊙O中,弦AB、CD相交于P,且AB、CD不全是直径 求证:AB、CD不能互相平分。 A B C D O 中学数理化 例4 求证: 是无理数。 中学数理化 作业
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