第一节常数项级数的概念及其基本性质(代初稿).ppt

* 故原级数收敛 , 其和为 所以 解 2. 判别级数 2. 的敛散性 . 令 则 因为 * 这说明级数(1) 发散. 从而 故 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 第九章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念及其基本性质 第二节 正项级数及其敛散性判别 第三节 任意项级数 第四节 幂级数 第五节 函数的幂级数展开 第六节 幂级数在数值计算中的应用 * 无穷级数是高等数学中不可缺少的组成部分之一, 它是表 无穷级数包括常数项级数和函数项级数两大类, 常数项级数 示函数、研究函数的性态、进行数值计算的一种有效工具, 它无论对数学理论本身, 还是对数学的应用都具有重要的作用. 是函数项级数的基础, 因此, 本章先介绍常数项级数, 然后介绍 函数项级数中最重要的一类级数——幂级数． * 第一节 常数项级数的概念 及其基本性质 一. 常数项级数的概念 二. 无穷级数的基本性质 * 教学目标 1. 了解常数项级数的概念, 掌握级数收敛与发散的定义, 并能利用定义判别一些级数的敛散性. 2. 理解无穷级数的基本性质． * 一.常数项级数的概念 1. 引例 * 称为(常数项)无穷级数, 简称(常数项) 级数. 记为 即 来的表达式 定义1 将数列 的各项依次用加号连接起 2. 级数的定义 其中第 n 项 叫做级数的一般项或通项. * 例如, 是一个级数, 称为调和级数, 其通项为 中前 n 项的和, 称为级数 取级数 的前 n 项 部分和, 记为 即 * 部分和数列 级数 的增大, 中相加的项也逐渐增多. 所以当 趋于 随着 的极限就反映了无穷多项的和．于是考察级数 无穷大时, 是否有极限来研究无穷级数是否收敛． 的部分和数列 * 则称级数 收敛, 的和, 记为 并把 S 称为级数 定义2 若级数 的部分和数列 的极限 存在, 即 如果部分和数列 没有极限, 则称级数 发散. 即 级数 没有和. * 即 注1 当级数 收敛时, 称为该级数的余项, 记为 级数 收敛的充要条件是 * 解 例1 判定级数 的敛散性. 于是 由于 * 从而 故 即该级数收敛, 其和为 . * 例2 讨论几何级数(或等比级数) 的敛散性. 若收敛, 则求出其和. (其中a≠0, q 称为级数的公比, 为它的一般项) 解 当 时, 部分和 (1) 当 时, * 从而 不存在. 当 n 为偶数时, 当 n 为奇数时, (2) 当 时, (3) 当 时, (i) 当 时, 则 (ii) 当 时, 则级数变为 * 故原级数发散. 几何级数 综上所述有如下结论: 当 当 时, 收敛于 当 时, 发散. * 证 反证法 . 例3 证明调和级数 发散. 而 收敛, 设级数的和为S, 则有 若 与前者矛盾. 故调和级数发散. 但 * 二. 无穷级数的基本性质 且 证 则 性质1 若级数 收敛, 则级数 也收敛, 分别为 部分和, 设 * 注2 两个无穷级数必须收敛才能相加, 而不象有限项情形, 注3 此定理反之不一定成立. 例如级数 收敛, 逐项相加总是可行的. 发散. 但级数 所以 故 * 也收敛于ca. 性质2 若级数 收敛于 a, c 是一个常数, 则级数 证 分别为 设 则级数 收敛于ca. * 一个不为零的数, 所得级数与原级数具有相同的敛散性. 注 发散, 则 不存在, 从而当 例如, 级数 都是收敛的. 注4 不存在. 这表明: 级数的每一项同乘以 c≠0时, 必有 * 证 因在级数中增加或去掉有限项, 总可通过在该级数前 设在级数 中去掉前m项, 则得级数 令两级数的部分和分别为 的敛散性. 性质3 设 k 为任意正整数, 则级数 与 有相同 增加或去掉有限项来实现, 故只须证在级数前增加或去掉有 限项而其敛散性不变. * 注5 级数中前面增加或去掉有限项, 级数的敛散性不变. 例如, 级数 和级数 前者是收敛的, 后者是发散的. 于是 若 收敛于S, 则 故级数 收敛. 若 发散, 则 不存在, 故 也发散. * 性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和. 证