单自由度系统的无阻尼自由振动.pptxVIP

　单自由度系统的自由振动　 一、自由振动的概念：动力学　单自由度系统的自由振动　 以弹簧质量系统为力学模型动力学　 运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。质量—弹簧系统：令x为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，当系统受干扰时，根据牛顿第二定律，有：动力学　 在静平衡时有：振动微分方程为：方程的通解为：动力学 a, c是与系统的物理参数有关的常数。令动力学　二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以x 为广义坐标（从平衡位置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：则自由振动的微分方程的标准形式：方程的通解解为：动力学或：　 C1，C2由初始条件决定这里A和φ与C1和C2的关系为：动力学 设 t = 0 时， 则可求得：　 三、自由振动的特点： A——物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。 ?n t + ? ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 ? ——初相位，决定振体运动的起始位置。 T ——周期，每振动一次所经历的时间。 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。 —— 固有频率，振体在2?秒内振动的次数。反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。动力学 (3)周期T 和固有频率 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。动力学 无阻尼自由振动的特点是：(1) 振动规律为简谐振动；(2) 振幅A和初相位? 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。固有频率及固有周期 固有圆频率，为了方便也称为固有频率，是系统的固有特性，与系统是否振动无关只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。固有周期固有频率及固有周期 对于不易得到刚度或质量的系统，若能测出静变形，可用上式计算固有频率。解：重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置，则t=0时有:其振动规律为：因为：根据：其振动规律为：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和可见动张力几乎是静张力的一半，由于因而为了降低动张力，应该降低系统的刚度 例2.2 图示的直升机桨叶经实验测出其质量为m，质心C距铰中心O距离为l。现给予桨叶初始扰动，使其微幅摆动，用秒表测得多次摆动循环所用的时间，除以循环次数获得近似的固有周期，试求桨叶绕垂直铰O的转动惯量。 解：取图示坐标系，将直升机桨叶视为一物理摆，根据绕固定铰的动量矩定理得到其摆动微分方程例 2.3 一个质量为m的物体从h高处自由落下，与一根抗弯刚度为EJ、长L的简支梁作完全非弹性碰撞，不计梁的质量，求梁的自由振动的频率和最大挠度。Mx解：M由材料力学可知简支梁在重物mg作用下的静变形为：x故自由振动频率为：以梁受重时平衡位置为坐标原点，以撞击时为0时候则自由振动振幅为：梁的最大挠度为：由Tmax=Umax , 求出：集中质量在全部重力 作用下的静变形动力学　 §2 求系统固有频率的方法1. 由系统的振动微分方程的标准形式2. 能量法：3. 瑞利法：4. 等效刚度法:动力学　 2. 能量法： 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。如：动力学　 能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。动力学　 例1 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。动力学　 解 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点） 以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x因平衡时由 T+U=有：对时间 t 求导，再消去公因子 ，得动力学　 例2 鼓轮：质量M，对轮心回转半径?，在水平面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 ，重物质量为m, 不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。动力学　 动力学　 解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：动力学　 系统的最大势能为：设