理论力学II资料讲解.ppt

理论力学 ( II ) ;自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念. 虚位移原理的广义坐标描述便是: 对应于各广义坐标的广义力分别为零是系统静止平衡的充要条件. 虚位移原理也称静力学普遍方程.虚位移原理与达朗伯原理的结合便得到动力学普遍方程. 动力学普遍方程的广义坐标表达可得到拉格朗日方程. 确切地说是第二类拉格朗日方程.它是完整约束下的质点系统的运动微分方程通式.;§3 – 1 自由度与广义坐标;3. 广义力. 广义力的定义须用数学式表达. 这里要说的是: 广义力是质点系中一群力和力偶的组合.它是分析力学中的一个基本概念. 它与广义坐标直接相关, 不同的的广义坐标对应着不同的广义力. ;x;§3 – 2 以广义坐标表示的质点系的平衡条件;例二. 平行四杆机构, 尺寸a、b、l 及力P、F 均为已知. 求: 平衡时 α = ? β = ?;l; 解: 系统有两个自由度, 选广义坐标 x1 和x2 . ;习 17 – 17 (P276) 杆系在铅垂面内平衡, AB = BC = l , CD = DE , 且AB, CE 为水 平, CB为铅垂. 均质杆CE 与刚度为 k1 的弹簧相连, 重为P 的均质杆AB 的左端A 处装有一刚度为 k2 的螺旋弹簧. BC 杆上作用有线性分布载荷, 其最大的集度为q . BC 杆的重量不计. 求此时水平弹簧的变形量? 和 螺旋弹簧的扭转角? .;由质点系的达朗伯原理:;例一: ( 书上 例18 – 2 ) 两个半径为r 的均质轮质量皆为m1 , 对轮心的转动惯量各 为J. 连杆的质量为m2 , 其两端与两轮的轮心以铰链相连. 设圆轮在倾角为? ?的斜面上作纯滚动, 求轮心的加速度.;例二 ( 书上例 18 – 3 ) 图中二均质圆柱轮质量皆为m , 半径皆为r . 轮I 绕O 轴转动, 轮II 上绕有细绳且细绳缠于轮I 上. 二轮在同一平面内运动. 若细绳的直线部分为铅垂时, 求轮II 的中心C 的加速度.;I;§3 – 4 拉格朗日方程( 第二类);又:;在 虚位移原理 一章里, 有一个关系式也要用到. 下面便是讲义里的一段:;推证过程如下:;A;例二. ( 习 18 – 6 ) 三个齿轮的质量分别为m1 、m2 、m3 ，相互啮合. 各轮可视为均 质圆盘, 其半径分别为r1 、r2 、r3 . 三个齿轮上分别作用力偶M1 、M2 、M3 , 其转向如图示. 求齿轮1的角加速度.;解答后的提示: 此题求的是1轮的角加速度, 似乎不是微分方程. 其实, 最简单的微分方程就是相关坐标对时间的二阶导数与力、力偶的关系. ( 力、力偶或为常量或为相关坐标及时间的函数) . 可以证明: 如果一个系统的动能表达式仅为广义速度的齐次函数, 则可通过拉 格朗日方程求 得各个物体的加速度.;例三. 求图示力学系统的运动微分方程. ( 参见P162 例 17 – 6 );▲: 势力场下的拉格朗日方程 在势力场下, 势能是广义坐标的函数 . ;例四. ( 习 18 – 4 ) 解: 一个自由度 , 选广义坐标θ .;例五. 图示均质圆盘质量为m, 半径为r ; 均质杆质量亦为m , 长l . 设圆盘在水平面 上纯滚动. 求: 系统的运动微分方程.;·;例六. ( 习18 – 17 ) 解: 这是一个双自由度的自由振动系统. 以各自静平衡的位置建立广义坐标x1 和x2 .;习 18 – 10 均质杆AB 长为l , 质量为m , 借助于其A 端的辊子沿斜面滑下, 斜面的 倾角为? 角. 不计辊子的质量和摩擦, 求杆的运动微分方程. 又, 设杆AB 当? = 0 时由静止开始运动, 求开始运动时斜面所受到的压力.;如果计算系统的势能, 则选系统开始运动时过A 点的水平面为重力的零势面.;若系统在静止开始运动瞬时? = 0. 即是 当t = 0 时 ? = 0. 且 ;例七. 综 – 21 ( P190 ) 解: 双自由度, 选广义坐标 x1 、sr .;例八. ( 习 18 – 21 ) 解: 选广义坐标;; 习 18 – 13 质量为 m 的质点在一半径为 r 的圆环内运动, 圆环对AB 轴的转动惯量为 J . 欲使此环在矩为M 的力偶的作用下以等角速度? 绕铅直轴 AB 转动. 求 力偶矩M 和质点m 的运动微分方程. ;?;A;A;