因式分解知识点总结课件.doc

第一讲 因式分解 一，知识梳理 1. 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。 即：多项式 几个整式的积 例： 1 1 1 ax bx x(a b) 3 3 3 因式分解，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。 2. 因式分解的方法： （1）提公因式法： ①定义： 如果多项式的各项有 公因式 ，可以把这个公因式提到括号外面， 将多项式写 成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。 公因式： 多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可 以是一个单项式或多项式。 系数 —— 取各项系数的最大公约数 字母 —— 取各项都含有的字母 指数 —— 取相同字母的最低次幂 例： 3 3 3 2 3 4 2 2 12a b c 8a b c 6a b c 的公因式是 ． 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是 12、-8 、6，它们的最大公约 数为 2；字母部分 3 3 , 3 2 3, 4 2 2 a b c a b c a b c 都含有因式 3 2 a b c ，故多项式的公因式是 2 3 2 a b c . ②提公因式的步骤 第一步：找出公因式； 第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是 提公因式后剩下的另一个因式。 注意： 提取公因式后， 对另一个因式要注意整理并化简， 务必使因式最简。 多项式中第一项 有负号的，要先提取符号。 例 1：把 2 2 3 3 12a b 18ab 24a b 分解因式 . 解析：本题的各项系数的最大公约数是 6，相同字母的最低次幂是 ab，故公因式为 6ab。 解： 2 2 3 3 12a b 18 ab 24a b 2 2 6ab(2 a 3b 4a b ) 例 2：把多项式 3(x 4) x(4 x) 分解因式 解析：由于 4 x (x 4) ，多项式 3(x 4) x(4 x) 可以变形为 3(x 4) x(x 4) , 我 们可以发现多项式各项都含有公因式 （ x 4）, 所以我们可以提取公因式 （ x 4）后, 再将多项式写成积的形式 . 解： 3(x 4) x(4 x) = 3(x 4) x( x 4) = (3 x)( x 4) 例 3：把多项式 2 2 x x 分解因式 解： 2 2 x x = 2 (x 2x) x(x 2) （2）运用公式法 定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方 法叫做运用公式法。 2 2 a. a b (a b)( a b) 逆用平方差公式： 2 2 2 b.逆用完全平方公式： a 2ab b (a b) 3 3 2 2 c. a b (a b)( a ab b ) 逆用立方和公式： （拓展） 3 3 2 2 d. a b (a b)( a ab b ) 逆用立方差公式： （拓展） 注意 ：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 ②选择使用公式的方法： 主要从项数上看， 若多项式是二项式可考虑平方差公式； 若 多项式是三项式，可考虑完全平方公式。 例 1：因式分解 2 14 49 a a 解： 2 14 49 a a = 2 (a 7) 例 2：因式分解 2 2 ( ) ( )2 a a b c b c 解： 2 2 ( ) ( )2 a a b c b c = 2 (a b c) （3）分组分解法（拓展） ①将多项式分组后能提公因式进行因式分解； 例：把多项式 ab a b 1分解因式 解： ab a b 1= (ab a) (b 1) = a(b 1) (b 1) (a 1)(b 1) ②将多项式分组后能运用公式进行因式分解 . 例：将多项式 2 2 1 2 a ab b 因式分解 解： 2 2 1 2 a ab b = 2 2 2 (a 2 ab b ) 1 (a b) 1 (a b 1)( a b 1) （4）十字相乘法 （形如 2 ( ) ( )( ) x p q x pq x p x q 形式的多项式，可以考虑运用 此种方法） 方法：常数项拆成两个因数 p和q ，这两数的和 p q为一次项系数 2 ( ) x p q x pq x p x q 2 ( ) ( )( ) x p q x pq x p x q 例：分解因式 2 30 x x 分解因式 2 52 100