向量及向量的基本运算课件.doc

向量及向量的基本运算 一、教学目标： 1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向 量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件 . 2．会用向量的代数运算法则、 三角形法则、 平行四边形法则解决有关问题． 不 断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点： 向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量： 既有大小又有方向的量。 向量一般用 a,b,c ? ? 来表示， 或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如： AB 。向量的大小即向量的模（长度） ，记作 | AB |。 ②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行。 注意与 0 的 区别 ③单位向量：模为1 个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一 直线上。相反向量： 我们把与向量 a长度相等， 方向相反的向量叫做 a的相反向量。记作 - a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b 。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设AB a, BC b ，则a + b = AB BC = AC 。 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” 。说明：（1） 0 a a 0 a ； （ 2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与 a长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量。记作 a ,零向量的 相反向量仍是零向量。 关于相反向量有： （i） ( a) = a； (ii) a+( a )=( a )+ a = 0 ； (iii) 若 a、 b 是互为相反向量，则a= b ,b = a ,a + b = 0 。 ②向量减法：向量 a加上 b 的相反向量叫做 a与 b 的差，记作： a b a ( b) 。求 两个向量差的运算，叫做向量的减法。 a 的作图法： a b 可以表示为从 b 的终点指向 a的终点的向量 （ a、b 有共同起点） 。 b 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量 的始点重合的那条对角线， 而差向量是另一条对角线， 方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的 终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 4)实数与向量的积 ①实数 λ 与向量 a的积是一个向量，记作 λ a，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ） a a ； （Ⅱ）当 0时，λ a的方向与 a的方向相同；当 0时，λ a的方向与 a的方向相 反；当 0时， a 0，方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、 结合律与分配律。实数与向量的积的运算律： 设 λ、μ 为实数， 则 ①λ( μ a)=( λμ) a ②( λ+μ) a =λ a+μ a ③λ( a+b )= λa+λ b 5)两个向量共线定理 向量 b 与非零向量 a共线 有且只有一个实数 ，使得 b = a 。 6)平面向量的基本定理 如果 e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一 1,ee 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一 2 对实数 1, 使： a 1e1 2e2 其中不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的 2 一组基底。 7)特别注意 : （1）向量的加法与减法是互逆运算。 （2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合） ，而向量平行则包括共线 （重合）的情况。 （4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置 有关。 （二）主要方法： 1．充分理解向量的概念和向量的表示； 2．数形结合的方法的应用； 3．用基底向量表示任一向量唯一性； 4．向量的特例 0 和单位向量，要考虑周全． （三）例题分析： 例 1、判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)若 a b,则a b (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点 ,则终点也相同 (6)若 a b ，b c ，则 a c； (7)若 a // b ，b // c ，则 a//c (8)若四边形 ABCD 是平行四边形 ,则 AB CD, BC DA (9)已知 A （3，7），B（5，2），将 AB 按向量 a =（1，2）平移后得到的向量 A B 的坐标为 （3，－3） (10）a b 的充要条件是 | a | |b | 且a // b ；