圆与方程知识点总结课件.doc

圆梦教育中心 圆与方程知识点总结 1. 圆的标准方程： 以点 C( a, b) 为圆心， r 为半径的圆的标准方程是 ( x a)2 ( y b) 2 r 2 . 特例：圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的方程是： 2 y r 2 2 x . 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r ： a. 点在圆内 d＜r ； b. 点在圆上 d=r ； c. 点在圆外 d＞r (2). 给定点 ( , ) M x 0 y 及圆 0 C : (x a) y b r . 2 ( )2 2 2 ( )2 2 ① M 在圆 C 内 2 2 2 (x0 a) ( y b) r 0 ② M 在圆 C 上 2 2 （ x0 a) ( y b) r 0 2 ③ M 在圆 C 外 2 2 2 (x0 a) ( y b) r 0 （3）涉及最值： ① 圆外一点 B，圆上一动点 P ，讨论 PB 的最值 PB BN BC r min PB BM BC r max ② 圆内一点 A，圆上一动点 P ，讨论 PA 的最值 PA AN r AC min PA AM r AC max 思考：过此 A点作最短的弦？（此弦垂直 AC ） 2 y Dx Ey F 2 3. 圆的一般方程： x 0 . 2 E F 2 (1) 当 D 4 0时，方程表示一个圆，其中圆心 D E C , ，半径 2 2 D 4 2 E 2 F 2 E 2 F r . 2 (2) 当 D 2 E 2 4F 0时，方程表示一个点 D 2 , E 2 . 2 E F 2 (3) 当 D 4 0时，方程不表示任何图形 . 1 2 Bxy Cy2 Dx Ey F 2 E 2 AF 注：方程 Ax 0 表示圆的充要条件是： B 0 且 A C 0 且D 4 0 . 4. 直线与圆的位置关系： 直线 Ax By C 0 与圆 2 ( ) 2 (x a) y b r 2 圆心到直线的距离 d Aa Bb 2 B A C 2 1）d r 直线与圆相离 无交点 ； 2）d r 直线与圆相切 只有一个交点 ； 3）d r 直线与圆相交 有两个交点 ；弦长 |AB| =2 r 2 d 2 r d=r r d d 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 Ax By C 0 2 y2 Dx Ey F x 0 求解，通过解的个数来判断： （1）当 0时，直线与圆有 2 个交点，，直线与圆相交； （2）当 0时，直线与圆只有 1 个交点，直线与圆相切； （3）当 0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 5. 两圆的位置关系 （1）设两圆 2 2 2 C1 : (x a ) ( y b ) r 与圆 1 1 1 2 2 2 C2 : (x a ) (y b ) r ， 2 2 2 圆心距 d 2 2 (a a b b 1 ) ( ) 2 1 2 ① d r1 r2 外离 4条公切线 ； ② d r1 r 外切 3条公切线 ； 2 ③ r 相交 2条公切线 ； 1 r d r r 2 1 2 ④ d r1 r2 内切 1条公切线 ； ⑤ 0 d r r 内含 无公切线 ； 1 2 外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程 2 圆 C1 ： 2 2 x y D1x E1 y F1 0， 圆 C ： 2 2 2 x y D2 x E2 y F2 0， 则 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0为两相交圆公共弦方程 . 补充说明： ① 若 C 与C2 相切，则表示其中一条公切线方程； 1 ② 若 C 与C2 相离，则表示连心线的中垂线方程 . 1 （3）圆系问题 过 两 圆 C1 ： 2 2 x y D1x E1y F1 0 和 C2 ： 2 2 x y D2 x E2 y F2 0 交 点 的 圆 系 方 程 为 2 2 2 2 x y D1x E1 y F1 x y D2 x E2 y F2 0 （ 1） 补充： ① 上述圆系不包括 C ； 2 ② 2）当 1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） ③ 过 直 线 A x B y0 与C 圆 2 2 0 x y Dx Ey F 交 点 的 圆 系 方 程 为 2 2 0 x y Dx Ey F Ax By C 6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线 ： ①k 不存在，验证是否成立 ②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =半径，即 y y 1 0 k(x 1 x 0 ) R b y 1 k (a 1 2 R x 1 ) 求解 k，得到切线方程【一定两解】 例 1. 经过点 P(1 ，—2) 点作圆 ( x+1) 2+( y—2) 2=4 的切线，则切线方程为 。 (2) 过圆上一点的切线 方程：圆 (x—