高等代数考研真题第一章多项式.doc

PAGE 第一章 多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式，使能被整除,而能被整除。 2、（南航2001—20分） （1）设x22px+2∣x4+3x2+px+q，求p,q之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x2+1)h(x)+(x1) f(x)+ (x2) g(x)=0 （x2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x2+1∣f(x)，x2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：xd 1∣xn1的充分必要条件是d∣n（这里里记号d∣n表示正整数d整除正整数n）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P上的多项式g1(x)，g2(x)，g3(x)，f(x),已知g1(x)∣f(x)，g2(x)∣f(x)， g3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： （1）如果g1(x)，g2(x)， g3(x)两两互素，则一定有g1(x)，g2(x)，g3(x)∣f(x) （2）如果g1(x)，g2(x)， g3(x)互素，则一定有g1(x)g2(x)g3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证明P是素数当且仅当任取正整数a，b若p∣ab则p∣a或p∣b。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m，f(x)∣hm(x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。若存在数使得f()=g()=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x7+2x6 6x58 x4 +19x3+9x222x+8，g(x)=x2+x2，将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=Ck(x)g(x)k+ Ck-1(x)g(x)k-1+ … + C1(x)g(x)+C0(x) 其中次（Ci(x)）次（g(x)）或Ci(x)=0，i=0,1, …,k。（15分 ） （2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f1(x)≠0，f2(x)，g1(x)，g2(x)是多项式，且g1(x)g2(x)∣f1(x) f2(x)，证明：若f1(x)∣g1(x), 则g2(x)∣f2(x)。 10、（上海交大2005—15分）假设= （1）证明：存在实数c(0c1)，使得=0这里为的导函数； （2）在中将分解为不可约因式之积。 11、（大连理工2005—10分）设f(x) ，g(x)是数域P上的多项式，证明：在数域P中，若f3(x)∣g3(x),则f(x)∣g(x)。 12、（北航2001—10分）求一个次数最低的多项式，使其被x2+1除余x+1，被x3+x2+1除余x21。 13、（北航2003—10分）设h(x) ，f(x) ，g(x)均为域F上的一元多项式，若h(x)∣f(x)，而h(x)不整除g(x)，证明h(x)不整除f(x) +g(x)。 14、（南航2003—20分）求满足以下条件的三次多项式f(x)： （1）x3整除f(x)； （2）x+3除f(x)的余数是4； （3）x+2除f(x)的余数等于x2除f(x)的余数。 15、（北京科大2004—15分）求一个三次多项式f(x)，使得f(x)+1能被(x1)2整除，而f(x)1能被(x+1)2整除. 16、（南航2003—20分）设A∈Cn×n, f(x)，g(x)∈C[x]，f(x)的次数大于0，g(x)是A的最小多项式。证明： (1)若d(x)是f(x)，g(x)的最大公因式，则rank(d(A))=rank(A); (2) f(A)可逆的充分必要条件是f(x)，g(x)互质（或互素）。 17、（南航2005—35分）本题中等都是多项式。 （1）设a≠b，用（xa），（xb）除f(x)的余数分别为r1和r2 ，求用（xa）（xb）除f(x)的余式。(10分) (2)证明：若(f(x)，g(x))=d(x)，f(x)∣h(x)，g(x)∣h(x)则f(x)g(x)∣d(x)h(x)。(10分)) （3）设f(x)= f1(x) f2(x)，次（f1(x)）0，次（f2(x)）0，且(f1(x) f2(x))=1。 证明：若次（g(x)）次(f(x))，且f2