立体几何的综合问题.docx

9. 13立体几何的综合问题 ?知识梳理 线与线、线与而、而与而间的平行、垂直关系. 空间角与空间距离. 柱、锥、球的面积与体积. 平面图形的翻折，空间向量的应用. ?点击双基 若RtAABC的斜边BC在平而Q内, A.锐介三介形 C.直角三角形 顶点A在Q外，则AABC在Q上的射影是 B.钝角三角形 D.—条线段或一钝角三角形 解析：当平面ABC丄。时，为一条线段，结合选择肢，知选D. 答案：D 长方体AC】的长、宽、高分别为3、2、1,从A到G沿长方体的表而的最短距离为 A.1 + 73D.2V3 A.1 + 73 D.2V3 解析：求表面上最短距离常把图形展成平曲图形. 答案:C 设长方体的对角线长为4,过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60° , 则长方体的体积是 A.27^2 B.8V2 C.8V3 D16 解析：先求出长方体的两条棱长为2、2,设第三条棱长为x,由22+2W=42=x=2V2 , .?.V=2X2X2V2=8/2 . 答案：B 棱长为g的止方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是 解析：易知球的直径2rYci.所以R=—a.所以方色疋=匹 3 2 答案：邑 2 6 _ V42V3 ? y[\A 7已知厶ABC的顶点坐标为A (1, 1, 1)、B (2, 2, 2)、C 6 _ V42 V3 ? y[\A 7 解析：AB= (1, 1, 1), AC= (2, 1, 3), cos〈A3, AC 答案：— 2 ?典例剖析 0, 0), ()C= (2, 0,【例1】在直角坐标系0—兀比中，OA= (0, 1, 0), 0, 0), ()C= (2, 0, 0), OS = (0, 0, 1)? 求花与亦的夹角Q的大小; 设兀=(1, p, q),且丄平面SBC,求死； 求04与平面SBC的夹角； 求点O到平面S3C的距离； 求界面百线SC与OB间的距离. 解：(1)如图，SC= OC~OS= (2, 0, -1), OB= 04+ AB= (1, 1, 0),则 \SC\=^22 + 02 +(-l)2 =V5 , |O^|=712 +12 +02 =V2 . cos a=cos〈 SC ,OB)\SC\\OB\ V5-V2 5 cos a=cos〈 SC , OB) \SC\\OB\ V5-V2 5 a =arccos 一 _ n - SC=0, ??F丄平面SBC, ?丄SC Fl. n丄反,即 、农.BC=0. ?.* SC = (2, 0, -1), BC= OC~OB= (1, -1, 0), [1—p=0.?? [1—p=0.?? |^=2, 即 “=(1,1,2). 04与平而SBC所成的角0和OA与平面SBC的法线所夹角互余，故可先求页与 〃所成的角. OA= (0, 1, 0), |OA|=1, |/r|=Vl2 +12 +22 =V6 . cos〈 OA ,_ cos〈 OA , mini 1-V6 6 it V6— it V6 ——arccos . 2 6 （4）点O到平血SBC的距离即为元在〃上的投影的绝对值, :.d=\OC :.d=\OC n 2 _ V6 In | 76 3 （5）址在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异而直线间的 距离，故先求与SC、0B均垂直的向量加. 设〃尸（兀，y, 1）, m± SC H m± OB , 则加?SC=O,且加? 则加?SC=O,且加?OB=0. 2 _ V6 V6 3 罐不_ _ ____ __ _ j 補朋手莎d莎需豆:哥应梟鬲面鬲前谥白勺扁，「亲2湎站両jgi蔬:函以］i鬲应亲］ 杲面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量，以及如何由法向屋求角、 1求距离. i ■ 【例2】如图，己知一个等腰三角形ABC的顶角5=120° ,过4C的一个平而。与顶 点B的距离为1,根据已知条件，你能求出AB在平面。上的射影的长吗?如果不能,那 么需要增加什么条件，可以使ABi=2? 解：在条件“等腰AABC的顶角3=120° ”下，△ABC是不能唯一确定的，这样线段 45也是不能确定的，需耍增加下列条件Z —，可使A3i=2： ①CB】=2；②CB=逅或AB=5 ；③直线AB与平面a所成的角ZBABl=arcsin^ ； /i r 7 ④ ZABBi=arctan2；⑤ZB］4C=arccos ； ?ZAB}C=兀—arccos — ； ?AC= Vl~5 ；⑧B】 4 8 到4C的距离为丄；⑨3到/1C的距离为』L ⑩二面角B—AC—B{ arctan2等等. 2 2 —玉匾豆二个齐菽莎匾硕区疥血尬爾虚拡亦勺:即和的二2,刁眩語筱鬲前広金［ 杲，再冋过來考虑根据这一结杲