立体几何大题练习.docx

一、知识复习 立体几何中的空间向量知识 一、 空间向量的运算法则 运算:令a = = (x2,y2,z2),则: 加减：a±b = (x{±x29y[±y29z[±z2) 数乘:二(2心w R) —? —? —? —? —? —? 数最积：a-b = x}x2 + yxy2 + zxz2 当 q 丄b 吋，a 丄 b = XjX2 + y{y2 + = 0 （3）共线向量：a // b ^ x} = Ax2, y}=久旳，V = Az2（A g R） = —=丄^ =— 兀2 ）；2 S （4 ）模：方=7^ = Jx|2 + ”2 +召2 （常用的向量模与向最之间的转化: （5）夹角的运算:cos a.b - （5）夹角的运算: cos a.b - a-b \a\-\b\ 兀丿2+丿】力+?忆2 J^2 + l +^2-7%22 + ，22 + ^22 二、立体儿何中的空间向虽 平面的法向量可利用方程组求出：设万，方是平面Q内两不共线向量，历为平面。的法 站=0 向量，则求法向量的方程组为一 ” =0 空间中的位置关系 （1） 直线与平面平行 直线/的方向向量和平血a的法向量分别为m, 〃，贝强〃 a u加? /7=0 （2） 平面与平面平行 一 一 -72 = 0 平面a的法向量为几，ci, b是平面0内两不共线向量，贝iJq〃0o{_ [b-n=Q （3） 直线与肓线垂肓 设异面直线厶心的方向向量分别为 亦嘉，贝仏丄厶O瓜?応二0 （4） 直线与平面垂直 _ [a-m - 0 设直线/的方向向量为加；N, b是平而。内两不共线向量，贝强丄ao 一 [bm = 0 （5） 平面与平面乖直 几2分别是平面弘6的法向量,则a丄0 oq ?斤2=0 空间向量与空间角的关系 界血直线所成的角 设异面直线/p/2的方向向量分别为兀応，则/,与厶所成的角满足 cos 0 = cos mx, m2 肓线与平面所成的角 直线/的方向向量和平面?的法向量分別为m.n ,则直线/少平面a所成角满足 sin0= cos m.n (3)二面角 nx ,応分别是二面角a—1—6的两个半平面a, 6的法向量，若二面介a—1—6为锐二面角, 则二而角的大小满足cos= cos 坷,〃2 ，若二而角a—1—6为钝二面角，则二而角的 大小*满足cos0-- cos vq,n2 二、课堂练习 1?如图,正方体ABCD—A.B.C.D.中,求异面直线AC与BC.的夹角 2.如图，在三棱椎P-ABC中，P4丄平而ABC, ZB AC = 90°, D, E, F分别是棱AB、BC、CP的中点,AB=AC=1, PA 二2, 求直线PA与平而DEF所成角的正弦值; PPCA P P C A 3.如图所示，四棱锥P-ABCD的底血ABCD是边长为1的菱形, ZBCD=60° , E是CD的中点，刖丄底面ABCD, PA=屈 .(1)证明：BE丄平而PAB； (2) PB与而PAC所成角的余弦值 4.如图，已知在四棱锥P-ABCD 底而ABCD是矩形，明丄平而ABCD, PA=AD =错误! 未找到引用源。AB, E、F分别是AB、PD的中点. (1)求证：AF〃平面PEC； ⑵求PC与平面ABCD所成的角的正弦值； 求二面角P-EC-D的余弦值. 5.如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面 SAC均为等边三角形，ZBAC = 90°, 0为BC 小点. (I )证明：SO丄平面ABC； 求二而角A-SC-B的余弦值. N分别为AB、SB的中点。 (I )证明:AC丄SB； (II )求二面角N-CM-B的大小; 7.如图，在底面是棱形的四棱锥P-ABCD中，ZABC =60\PA = AC = a, PB = PD = 4^a，点E在 匕且 M：ED=2：1. (1)证明PA丄平面ABCD : ⑵ 求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角。的大小； ⑶ 在棱PC上是否存在一点F,使〃平面人兀？证明你的结论. 8.如图：四边形ABCD是边长为2的菱形，ZBAD=60°,点P是平面ABCD外一点，且 PB=2,在等腰直角三角形PAD中，Q是斜边AD的中点? 求证：PQ丄平面ABCD； 求二面角Q-PB-D的大小： 点M在线段PC上，PM=tPC,试确定实数t的值，使得 PA〃平面 MQB. 9.如图PA丄平面ABCD,四边形ABCD是矩形，F分别是AB, PD的中 点。 求证：AF〃平面PCE： 若ZPDA=45° , AD=2, CD=3,求点F到平面PCE的距离。 10.(2009全国卷I )如图，四棱锥S-ABCD^V，底面ABCD为矩形，SD丄底面ABCD, AD =迈,DC = SD = 2，点 M 在侧棱 SC 上，ZABM=60 o (