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立体几何学习障碍分析和教学对策研究 The analysis of learning disturbance on solid geometry and the related inscructional strategies 上海市中国中学黄勇 【摘要】建立空间概念、掌握空间图形的性质及培养空间想象能力、并能用立体儿何知识解决实际 问题，是高中立体几何的教学要求。但有相当一部分的同学在学习过程中遇到了极大的障碍。因此, 作为教师，应该认真剖析学生在学习立体几何时的思维障碍，探究造成这些障碍的主要原因，并提 出相应的教学对策，以使我们的教学更有效。 【关键词】立体几何、学生学习障碍、教学对策、形彖直观、转化思想 新课标对数学的释义是“研究现实世界屮数量关系和空间形式的科学”。立体几何一 —研究空间形式的主要章节，理所当然是高中数学学习的一个重点，它需要学生有一定 的空间想象能力和逻辑推理能力。但大部分学生接触立休儿何后，思维就陷在了儿何图 形纷繁芜杂的线面关系里，“剪不断，理还乱”，倍感困难。对此，笔者在问卷、测试 和访谈调查的基础上，依据多年的教学经验，谈谈立体几何学习小学生的主要障碍和相 应的教学对策。 一、立体几何学习中的主要障碍 1、空间想象能力的欠缺。 在Z前章节的数学教学中，无论是函数图像还是解析儿何、向量，所研究的都是平 而图形，这些固化了学生的读图思维。以致在接触到立体图形时，仍以“平而的眼光去 看立体”，结果是学生眼睛所看到的往往与真实的空间关系是有差异的。还有就是学生 看到几何体直观图时，往往不易建立空间概念，无法在头脑中将Z转化为准确的几何模 型映像，从而得出正确的图形性质。 C! 例如：在解决“作出三棱柱ABC-A^C,中过P、0 R三点、、、 的截面（见图1）。”这一问题时，很多学生错误地认为QP、C.A 、、￡/ 厂严 延长线能和交，从而得出点E是截面与上底面的公共点、RP连 /八、壯 C（ / 线即为截面与上底面交线的错误结论。事实上，在三棱柱 ABC-A^C.中，QP、GA延长线是不可能相交的。 A Q B 图1 2、逻辑推理能力的欠缺。 不仅立体几何中的证明题对逻辑推理能力的要求很高，就是关于空间距离和角度的 计算题，首先也需要学生能够对所定位的线段或角进行严谨有序的论证。相对高屮数学 代数部分侧重于解题切入点的选取和定量的计算，立体几何更侧重于定性的分析和严密 的推理，从己知条件入手到最后结论的推出，往往要涉及到很多的公理、定理和性质。学生经常可以由已知条件大致猜测出结论，但几何的论证是不允许思维的过度跳跃和主 观臆断的语句存在的，因此要学生设计合适的说理步骤，止确运用公理、定理和性质使 之出现在每一步的推出关系中，让他们大伤脑筋。立儿中常用的反证法更是无法把握。 例如：证明命题“若平面ac/3 = l ,直线a〃o 口 q//0,贝％/// (见图2) ”。 思路是过直线Q作辅助平面1和2分别交和0,先利用线面平行的 性质定理得出。〃人a〃c,从而根据公理4得出b//c,然后利用线面 平行判定定理得出b//0,再利用线面平行的性质定理得出b///,最后 根据公理4得lha//l. 在此过程中，公理4、线面平行的判定定理和性质定理反复使用, 线线关系与线而关系不停转化，容易导致学生产生逻辑混乱，很难条 理清晰地完成论证。 3、灵活应用定理分析和解决问题的能力较弱。 学生在遇到有关线线，线面，面面的位置关系判定和证明以及空间角和距离的确定计 算等方面的问题时，常常深感困难，无从下手。以证明两条直线垂直为例，在平面解几 屮通常只要证明此两条直线的方向向量的数量积为零即可，思路比较确定。而立体几何 中，要证明两条直线垂直，可以通过异面成角为90“或三垂线定理或线面垂直与平行、 面面垂直的性质定理及一些推论來进行，可选择的方法较多，要看貝体的问题而论，这 种不确定性就给学生带来了很大的思维障碍。 4、初中平面几何的负迁移。 通过初屮两年的学习，以及平常生活屮对图形的直观认识，使得平而几何的知识理论 体系在学生的头脑屮根深蒂固。平面几何大量直观的图形和几何概念，对初屮学生学习几 何的入门，直观思维和形象思维的培养，都起着不可低估的作用，但是，这在某个程度上对 立休儿何的学习产生了负迁移影响。当研究对象从平面图形上升为空间图形、思维空间 从“二维”变为“三维”时，学生就会产生新旧知识结构的认知冲突，反映在以下两个方 而： 识图与画图。表现在“看到的与想到的不一样”。例如在“水平放置的平面 图形的直观图画法”中，止方形，矩形在水平放置后呈平行四边形，以及在图中看上去明 显不垂直的两条线段却偏要证明他们互相垂直等。 平面几何的性质在立体几何中正确性的再认识与辨析。平面几何中一些常用的 正确的性质，在立体