空间向量及其应用.docx

空间向量及其应用 1.在平面四边形应血9中，AB=BD=CD=\, AB_LBD, CDLBD.将沿勿折起，使得平面/功丄平 面殆9,如图所示. 求证：AB丄CD； 若M为肋中点，求直线初与平血脳Q所成角的正眩值. I) 2.三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示?设必用分别为线段血?, 月〃的屮点，”为线段兀上 的点，且必KLAX 证明：是线段比的中点； 求二而角A-NP-M的余弦值. 3.如图，三棱柱 ABC-^BxG^. CA= CB, AB=AA, Z 旳 4 = 60° . 证明：M丄人G 若平面MCL平面A仙B, AB= CB,求直线与平面BB\GC所成角的正弦值. 如图， 四棱柱 ABCIA,B,C,D.中，侧棱乩4丄底面 ABCD, AB//DC, AB丄AD, AD=CD=\, AAx=AB=2, 〃为棱M的中点. 证明：BG1CE; ⑵求二而角Br CE- Q的正弦值. 、2 ⑶设点〃在线段^上，且直线初与平面初加所成角的正弦值为*,求线 段仙的长. 如图，四棱柱ABCD?A\BGD\中，力川丄底面ABCD.四边形初①为梯形，AD//BC,且AD=2BC.过血, C, 〃三点的平面记为酬与a的交点为Q 证明：0为酬的中点； 求此四棱柱被平面a所分成上下两部分的体积之比； ⑶若/U=4, 0)=2,梯形的面积为6,求平面a与底面所成二面角的大小. D B 答案 ABVBD.初U平面C(l, 1,0), 〃(0, 1,0), J(0, 0, 1),_ ( 1则 BC = (1, 1, 0), BM =( ABVBD. 初U平面 C(l, 1,0), 〃(0, 1,0), J(0, 0, 1), _ ( 1 则 BC = (1, 1, 0), BM =(0,- AD = (0, 1, -1). 设平面沏咒的法向量n=（To,必，Zo）, \n ? 则 [n ? BC=0, BM =0, ]心+〃=0, 1 , 1 c -^o+-Zo = 0, 取zo=l,得平面沏％的一个法向量n= （1, —1,1）. 设直线初与平面胁C所成角为（）, 则sin 而〉丨=[ I n ? AD | n\ ? \AD\ 命题点 1?解：（DiiE明」??平面外肋丄平面化9,平面外肋Q平面彩=肋, ABD, AB1BD, :. ABL 平面〃GZ 又切u 平面 BCD, :. ABL CD. （2）过点〃在平面处9内作BE1BD,如图. 由（1）知弭〃丄平面BCD,处匸平面BCD,肋u平面BCD :.ABLBE, 以〃为坐标原点，分别以匪，BD.丽的方向为/轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系. 、/6 即直线初与平面咖Q所成角的正眩值为弋-. A解：（1）证明：如图，取劭中点0,连接CO. 由侧视图及俯视图知，ABD, △砲均为正三角形, 因此 AO1BD, OCLBD. A 因为肋，OCU平面力处且AOH OC= a 所以勿丄平面AOC. 又因为MCU平面他,所以BDLAC. 収〃。的中点〃，连接册，PIL 又必沖分别为线段49的中点， 所以 NH//AO, MN//BD. 因为AO1BD,所以NH丄BD. 因为加LU W,所以NPIBD. 因为八〃，胪u平面沏化且NIG NP= N, 所以肋丄平面NHP. 又因为平面用沪，所以劭丄朋 久 OCJBD, HPU平面 BCD, OCU 平面 BCD, 所以 HP//0C. 因为〃为0中点， 故P为腮中点. （2）法一：由俯视图及（1）可知，昇0丄平面他Z 因为 0G 0BU 平面 BCD,所以 AOL 0Q A010B. 乂 0CJ0B,所以直线刃，0E, 0C两两垂直. 如图，以0为坐标原点，以前，OC,刃的方向为x轴, 方向，建立空间直角坐标系Oxyz. 则 J（0,0,羽），5（1,0,0）, C（0,並 0）, 〃（一 1,0,0）? 因为必沖分别为线段//〃，//〃的中点， 轴，？轴的正所以0,0,于是而= （1,0, —萌）,BC = (-1,萌，0), MN = (1, 0, 0),又由（1） 轴，？轴的正 所以0, 0, 于是而= （1,0, —萌）, BC = (-1,萌，0), MN = (1, 0, 0), 设平而肋C的一个法向量22=（匕，必，Z1）,则 \n\ ? AB =0, 即L ■荒=0, xz, yz, Zz ? L 0, 0 =0,fA2 = 0,\n ? MN xz, yz, Zz ? L 0, 0 =0, fA2 = 0, \n ? MN =0, 即 g_￡zi = 0, 从而d 厂 I —孟+寸 3yi=0. 取刀=1,则 =￡,戸=1,所以 n = （￡, 1, 1）. 〔屁丄济, 连接奶设平ifil MNP的一个法向量n=