空间向量与空间角练习题.docx

课时作业（二十） ［学业水平层次］ 一、选择题 1.若异面直线厶的方向向量与?2的方向向量的夹角为150°,则 厶与厶所成的角为（） A. 30° B. 150° 30。或 150° 以上均不对 【解析】 厶与％所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且 （ 兀 异面直线所成角的范围为〔0,寸?应选A. 【答案】A 2? 2?已知力（0,1,1）, BQ, —1,0）, 与直线CD所成角的余弦值为（） C(3,5,7), D(l,2,4),则直线 AB A壶 A?66 B. 5^22 —66 「唾 J 22 D. 5^22 22 【解析】 — AB=(2, —2, —1), — CD=( — 2, —3, —3), ― ―A —A L 二、 ABCD 2 5 5^22 2……亦应严血66, 直线/〃、CD所成角的余弦值为冷尹. 【答案】A 3.正方形ABCD所在平而外一点P,丹丄平^ABCD,若丹= AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为（ ） A? 30° B? 45。 C? 60° D? 90° 【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，PA=AB=\.则 取中点为E, 则 #0, :.AE= 易知/D是平面PAB的法向量，/E是平面PCD的法向量，?? cos 云,a =￥， ???平面PAB与平面PCD的夹角为45。? 【答案】B 4. （201牛陕西师大附中高二检测）如图3-2-29,在空间直角坐标 系Dxyz中，四棱柱ABCD—A\B\CQ\为长方体，仙 =AB=2AD,点、 E、F分别为CQi、A{B的中点，则二面角BSB-E的余弦值为（ ） A?-普 B? 【解析】 设AD=\,则4(1，0,2), 5(1,2,0),因为E、F分别为 CQi、//的中点，所以 ￡(0,1,2), F(l,l,l),所以力0=(—1,1,0), AXB A[E-m = 09 = (0,2, -2),设m = (x,y,z)是平面力/E的法向量，则$ ―A //?加=0, TOC \o 1-5 \h \z —x+^=0, b=x, 所以| 所以[ 取兀=1,则y=z=l,所以平面/0E [2y—2z=0, [y=z9 的一个法向量为加= (1,1,1),又D4丄平面所以D4 = (l,0,0) ~F17 ? r) a ] 、 是平面A\B\B的一个法向量，所以cos m, DA) = =_7^= , \m\\DA\ 又二面角BSB-E为锐二面角，所以二面角B\B?E的余弦值为卞 故选C. 【答案】C 二、填空题 5.棱长为1的正方体4BCD?A\B\CQ\中，M、N分别为45、 30的中点，则异面直线与CN所成角的余弦值是 【解析】b NBA\Di依题意，建立如图所示的坐标系，则力(1,0,0), 【解析】 b N B A\ Di Cl ,C(o丄0), A(l, 1, :.AM=\09 I 丄 f f 2 ? A cos〈AM, CN〉=逅巫=§， 2 2 2 故异面直线/M与CN所成角的余弦值为 2 【答案】f 6. (201牛临沂高二检测)在罕:间直角坐标系Oxyz中，已知力(1, — 一2,0)、5(2,1, ^6),则向量与平ffixOz的法向量的夹角的正弦值 为 ? 【解析】 设平面xOz的法向量为〃 =(0, ￡0)(/工0),力3 = (1,3, 所以 cos〈/?,AB}nAB 3/ 所以 cos〈/?, AB} nAB 3/ =硕 因为〈〃，AB) e[0, tt], 所以sin〈 n, 【答案】申 7?已知点E, F分别在正方体ABCD认B\C\D\的棱BB\, CCX 上，且B\E=2EB, CF=2FG，则平面/EF与平面45C所成的二面 角的正切值等于 ? 【解析】 如图，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,平面ABC的法向量为如=(0,0,1),平面 /EF的法向量为n2 = (x9 y, z)? TOC \o 1-5 \h \z ( 1)」 2 所以 /(l,0,0), E 1, 1, o , F0, 1, t \ n 丿 \ , 所以4E= 0, 1,亍，EF= —1, 0, t I 3丿 I 3) n2 n29AE=09 则I —A /2?EF=0, 取 x=l,则 y= —1, z=3.故〃 2=(1, —1,3). 所以cos 所以cos〈“ 、 nrn? 3y[U n2)=NN= 11 ? 所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角a满足cos a _3yn—iisin _3yn —ii sin a = y[22 11 所以tan a= 【答案】富 三、解答题 如图3-2-30所示，在四面体ABCD中，O, E分别是BC 的中点，CA — CB — CD—BD—2,