空间向量在立体几何问题中的应用.docx

空间向量在立体几何中的应用 以下n是平面Q的法向量。 一.直线与平面平行与垂直的判定 1. aUa^ a 丄〃 2.。丄 a a\2n^ a = An 二.平面与平面平行与垂直 1 ? G 口 0 O q U 比2 2. Q 丄 0 u q 丄弓 u q ?佝=0 k iL山A/UZ7 k i L山 A / UZ7 三.立体几何中的角 1.异面直线所成的角0 D 2.平面与平面所成的角 cos（龙一 ）=勺：仝n cos（龙一 ）=勺：仝 n{ ~ n2 （图一） （图一） 四.立体几何中的各种距离 1 ?点到平面的距离 PB?n = d =——-—— n 1.异面直线的距离 其中方是异面直线丽、丽的公垂线段而的方向向量 42 4 2 n ? AM = 0 BN - 0 应用举例: 例1. (2005年全国高考试题一)己知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//CD, SB?, PA 丄底面 ABCD,且 PA=AD=DC=1, AB M 严的中点。 证明：平面PAD丄平面PCD 求AC与PB所成的角 求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小 证明：(1)取如图坐标系。 则 P (0, 0 —), D( — , 0? 0),(—,—, 2 2 2 2 斤= (0,1,0)是平面PAD的——个法向量。设石= (x,y,z)是面PCD的法向量, 反=(0 丄,0),而=(],0丄) 2 2 2 (1)由 0 =直? DC = * y = y = 0 (1) 由 1 1 一、 二亍-卫=x=y(2) ——1 1 o = n° ? PD = — x ——z^ x = z(2) 「 2 2 (1) (2)取 x = l,z = 1 = % = (1,0,1) ??? /?1 =0 ??? ??? /?1 =0 ???平面 PAD 丄 PCD 5 - AC与PB所成的角为arccos^ (3)设n3 = (x,z)是平面AMC的法向量 由0 =禺 由0 =禺? AC =—无 + ―y = x = -y(l) 2 2 取 y = 1, (1)(2) = ? = (一 1 丄一2) 设可= O,y,z)是平面BMC的法向量 —— 11 11 由o = n^MB = (x,y,z)? (0,= --y--z^ z = -2y(l) 0 =吗?眈=(兀,”z)?(*,-*,()) = * — *= 兀=y(2) 由(1) (2)取 y=l,得 n4 =(1,1,-2) COS(龙 一 0)=(-1 COS(龙 一 0)= (-1 丄-2)?(1 丄-2) Jl + 1 + 4—J1 + 1 + 4 2 2 ??? 0 = arccos(——),平面AMC与平面BMC所成的角为arccos(——) 简评一：用上述基本命题求解立体几何中的问题，基本技能明显，易于操作。 例2.（2005年高考湖北卷）如图，在四棱锥 AB|C] P—ABCD 屮，底面 ABCD 为矩形，侧棱PA丄底面ABCD, ABY,BC = \,PA = 2,E为PD的屮点。 （1） 求直线AC与PB所成角的余眩值 （2） 在侧面PAB内找一点W,使WE丄面PAC ,并求出W点到AB和AP的距离 解：取如图空间直角坐标系 则 B(0,V3,0),C(-1,希,0),D(-l,0,0),P(0,0,2),￡(-|,0,1) AC = (-1, V3,0), PB = (0, V3, -2) 设AC与PB所成的角为,则 cos = AC^PB 3护 IT (2)设 N(0, y, z), NE = (-^9-y,l-z) 由 0 = NE^AP = (--9-y,l-z)^(09092) = l-z=z = l V3 V3 6 ???N（0, —；1）,N到AB与PB的距离分别为1, 6 简评二：设出点的坐标，用向量运算列出方程来待定它，思路简洁明快。 例3. （2005年高考重庆卷）如图，在三棱柱ABC-\BXC｝中，丄侧面 BB.C.C , E为棱 CG上异于 C 、 G的一点，EA丄EB】，已知 AB =近,BB、=2, BC = \,ZBCC\ ，求 3 （1） 异而直线AB与￡冋的距离 （2） 二面角A-EB｝-A｝的平面角的正切值 解：取如图所示空间直角坐标系，由AB =近,BB、= 2,BC = \,ZBCC\ =务得 B（0,0,0）, A（0,0,向,B、（0,2,0）, C（￡ E（耳,a, 0） 亟二（- 亟二（--q,血）,画二（- ￥ ??? EA 丄 EB Y由 0 = n ? EBX = (x, y, Y 由 0 = n ? EBX = (x, y, z) ?(- V3 3 —x H— y = x 2 V O 1 = a ——或6/ =—(舍去