空间直线方程的拟合.docx

空间直线方程的拟合 霍晓程 （株洲职业技术学院，湖南株洲412001） 摘 要：探讨用最小二乘法解决空间直线方程的拟合问题1先拟合三个直角坐标系屮的投影直线，再通过投影 直线求出空间直线方程，并对拟合出來的三个不同的直线方程进行比较，选择最佳拟合方案1 尖键词：最小二乘法； 拟合； 空间直线 中图分类号：024112 文献标识码：A 文章编号：1671 - 9743 （2009） 02?0016 - 04 自然界中常见的光束是以射线方式传播的，汁算机应用领域中图形图像也是许多光束投影的结果，射线 是直线的一部分1如何测量并计算光束所在的直线方程呢？光束有粗细之分，测量出來的数据点肯定有 误差，那么如何拟合空间直线方程呢3 ?下面笔者用最小二乘法來拟合空间直线方程1 1最小二乘法拟合空问直线方程 问题1计算数学中讲到的直线拟合，主要是用最小二乘法拟合平面上的直线方程，拟合出来的方 程为y = a +加，但空间屮的直线方程形式为丄严=弋产二宁该怎样拟合它呢？ 若将空I、可直线方程转化为平面直线方程，这种拟合就容易多了 1 一般情况下，空间直线在三个坐标系 XOY.XOZ.YOZ中的投影也都是直线，所以可以先将它的投影拟合成直线，只耍拟合岀两条投影直线就可巧 求出空间直线方程，因为平面直角坐标系中的直线方程也是空问直角坐标系中的平面方程，两个平血的交线諭 是我们要求的空间直线1 对于给定的点（m ,zj （z = 1 ,2 , , n），其在坐标系XOZ和YOZ的投影为（七，zj、（y ,zj，先在坐标系 XOZ和YOZ中拟合这两条直线z二⑷x ,z = 6r2 +人兀,显然这两条直线是空间直线在坐标系XOZ和YOZ 屮的投影⑷，因z二口 + 二血+伪龙在坐标系O?XYZ中是两个特殊的平面方程,这两个平面的交线就 是我们要求的空间直线方程1 a\得n n n ft刀￡? HXi a\ 得 n n n ft 刀￡? HXi刀XZ 21 21 21 21 并工2 ? TOC \o 1-5 \h \z nax + Z?,工七=工可 r = I r = I n n /r b\n nn工￡ -（工兀r i=1 i=1直线方程：Za\工七+ b\ n n n工￡ -（工兀r i=1 i=1 直线方程：Z 收稿日期:2009 - 01 - 16 作者简介：霍晓程（1972 ?）,男，湖南武冈人，株洲职业技术学院讲师，硕士生，主要研究计算数学1 第28卷第 第28卷第2期 霍晓程:空间直线方程的拟合 ? 17 ? 同理在坐标系YOZ屮拟合的直线方程为: d $ a i 几 i - i d 2 1 2 1 2 1 2 1 + i = 1 2 丨 2 1 fj ?（D）， n 工Y - （ D）， 1 = 1 f= 1 1=1 f = 1 所以对于给定的点（嘉J ,Zi）（i二1 ,2 ,3 , ,?），拟合出来的空间直线方程为: （3）S工z, （3）S 工z,刀心.刀占grz ￡- I 21 21 ,二1 n 工￡ -（ D），f=1 1=1 □ Ng?工七gz, ，二 J 21 2 1 + n X n工￡ -（工尢J? f=1 1=1 LZ/ LZ/刀貝?刀刃工xz“I “I “I n n n D：?（D），r = I / = 1 n L，/Zy 刀X HZi ，匚1 2 1 i匚i 十 n n n zy ?（Drr=l Z=1 2 方程的唯一性讨论问题2 2 方程的唯一性讨论 问题2通过在直角坐标系XOZ.YOZ^拟合其投影直线分别为z = m +仞x,z二f/2 +他x,再计算出来 的空间直线方 z = a\ + b\ x 在坐标系XOY上的投影是否为直接在坐标系XOY拟合出来的方程: z = ch + bi y 21 n -（宰）2=a\ + b\ x得y ==6Z2 + Z2 yn n nn工七x?工x 21 n -（宰）2 =a\ + b\ x 得y = =6Z2 + Z2 y n n n n工七x?工x + X 呢？ n Cl\ ? Cl2bi +襄，如果这两条直线相吻合的话，则必有 G? 02 bi 两式相除得 4?他b\ D D： - D d” _ 2 1 2 1 2 1 2 1 bybi X 即（4 估l工比工￡?工七工％巴 二］ r二 i / = | 丿 也就是说，当满足以上关系式时，拟合出来的空间克线方程才是唯一的1 3拟合方程的修正 问题3 在空间直线的拟合过程中，问题2中的关系式S // Yxiyi ?刀占 Yyi 、 /=! r=l j =T “ 2 z ”p ?f ?J y ?f 厂 J 工托工xy成立的巧合性很小，那么该如何修正己经拟合出來的空间直线 =1 i=l ‘ a\ + b