立体几何体积问题.docx

立体几何体积问题 1、在如图所示的五面体ABCDEF屮,四边形ABCD为菱形，且ZDAB = 60 , EF//平 ffi ABCD, EA = ED = AB = 2EF = 2, M 为 BC 中点. （1） 求证 FM//平面BDE； （2） 若平面ADE丄平面ABCD,求F到平面的距离. 【答案】（1）见解析；（2）丿5 5 【解析】试题分析： （1）取CD中点N,连接MN’FN ,由线面平行的判定定理可得MNU平面再由防平面 ABCD可得EF!⑷；由题意可证得四边形EFND为平行四边形,故得FW /ED ?从而得到FN/!平 面SDE ?由面面平行的判定可得平面MFW /平面BDE ?由此可得结论成立?（2）由（1）得FM!!平 面BDE,故F到平面BDE的距离等于Af到平面8DE的距离.取的中点连接EHZBH ?可证 得H丄AD, 丄的，从而可得EH丄平面ABCD ,在此基础上可得, 也?然后设F到 平面BDE的距离为h ,由VE_BLM = VM_BDE可得所求. 试题解析 (1)取CD中点N,连接MAJEV, 因为分别为CD:BC中点，所以MVWBD, 又BDu平面BDE,且平面BDE,所以MNH平面BDE ? 因为EF//平面ABCD , EFu平面ABEF ,平面ABCDc平面ABEF = AB , 所以EF//.4B? 又 AB = CD =2DN = 2EF = 2 , AB!/CD , 所 UEF 打 CD , EF = DN. 所以四边形EFND为平行四边形. 所认FNHED. 又EDu平面BDE且FNH平面BDE,所以FNH平面BDE ? 又FNc MN = N,所以平面MFNH平面EDE. 又MFu平面MFN ?所以FMH平面EDE. (2) rti (1)得FM / /平面BDE，所以F到平面BDE的距离等丁 M到平面BDE的距离. 取AD的屮点H,连接EH,BH , 因为I川边形ABCD为菱形，且上D4B = 60 , EA = ED = AB = 2EF , 所以EH丄AD, BH丄AD, 因为平fflADE丄平面ABCD,平面ADEc平面ABCD = AD , 所以￡7/丄平面ABCD, EH丄BH , 因为EH = BH =羽,所以BE = W，学 所以 S、bde =~x设 所以 S、bde =~x 设F到平面BDE的距离为力，又因为 1 Q 迟人 -^cd=-xtx4 V3 2 所以由 Ve_bdm =V“ bde 得V3x^- = ^x/ix^^-, 解得占?学 即F到平面BDE的距离为坐. 2、如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面ABCD丄平 面 CDEF , AE1CF. 求五面体ABCDEF 求五面体ABCDEF的体积. 20 【答案】（1）见解析（2）— 3 【解析】试题分析: （1） 要证线线垂直，可先证线面垂直，已知有ME丄CF,因此只要再证CF丄血儿这可由面面垂直的 性质定理得丄平面CDEF ,从而得到结论： （2） 这个多面体可分拆为一个三棱锥A-DEF和一个四棱锥F-ABCD ?它们的高易作出，分别求出体 积即可. 试题解析: （I ）因为平面ABCD丄平面CDEF, 平面 ABCDQ平面 CDEF= CD? AD丄CD, 所以AD丄平面CDEF,又CFU平面CDEF, 贝 \\AD\_CF ? 又因为 AE1CF? ADr\AE=A? 所以CF丄平面AED? DEU平面AED, 从而有CF丄DE. (II )连接以，FD,过F作FM丄CD于M, 因为平而ABCD丄平面CDEF H交线为CD, FM丄CD, 所以FM丄平面ABCD. 因为 CF=DE, DC=2EF=4,且 CF丄DE, 所以FM = CM = 1,学 16 4 20 所以五而体的体积 \/= VF.ABCD+ VA -DEF=^+*3 =T. 3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，ZBAD = 60。，点M在线段PC 上，且PM =2MC , 0为AD的中点. （I ）若PA = PD,求证平ifij POB丄平面PAD； （II）若平面PAD丄平面ABCD, \PAD为等边三角形，且AB = 2 ,求三棱锥P-OBM 的体积. 2 【答案】（I）见解析；（1【） 利用面面垂直判走走理证明;【解析】试题分析:⑴由PA =肋得F0丄川D ,底面为菱形，B0丄,Q 利用面面垂直判走走理证明; 3 2 ⑵法一：由面R4D丄面ABCD,推出P0丄0叭 计算出5^=-,则VP_OBM = VM_P0B = - 法二推出P0丄面ABCD, EO丄扭），先计算出S、曲PM = 1MC ,,然后 _ _ 2 _ 2 ^P-OBM = ^M-PCB = § ^C-POB =