简述卡尔曼滤波器.docx

卡尔曼滤波器 摘耍：卡尔曼滤波(Kalman filtering)是，种利用线性系统状态方稈，通过系统输入输出观 测数据，对系统状态进行最优估计的算法° rh于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响, 所以最优佔计也町看作是滤波过程。对于解决大部分问题，它是最优，效率最高其至是最有 用的。他的广泛应用己经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事 方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像 分割，图像边缘检测等等。 1卡尔曼滤波原理 在统计中，卡尔曼滤波是以鲁道夫一卡尔曼命名的数学方法。它提供了一种冇效的计 算(递归)算法来估计过程的状态，它最人限度地减少了均方谋羌。该滤波器在许多方面的 应用是非常强大：即使在模拟系统准确性不明的情况下，它可以对过去，现在，甚至可以对 耒来状态进行估计。 卡尔曼滤波器产生测暈真值的估计值及其相关的计算值的预测值，估计预测值的不确定性, 并计算预测值与实测值的加权平均值。它给出不确定性最小的估计值。用该方法产生的估计 值往往比原来测量真值更接近真实值。 从理论上看，卡尔曼滤波是一?种有效的实现非线性动力学系统的算法，所有潜在的和观察到 的变量都服从高斯分布(通常是一个多元高斯分布)。 如果所有的噪声为高斯噪声，卡尔曼滤波器最小化了参数估计的均方课差。鉴于只有噪声平 均值和标准差，卡尔曼滤波器是绘优的线性估计；并且，它结构优良，易于实现。 2卡尔曼滤波简单介绍 (1)首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程 (Lin ear Stochastic Differe nee equati on) 来描述： X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)协方差为 Q 再加上系统的测量值： Z(k)=H X(k)+V(k) 协方差为 R X(k)是k时刻的系统状态， U(k)是k时刻対系统的控制量。 Z(k)是k时刻的测量值 A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。 H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。 W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise), 他们的协方差(covariance)分别是Q, R (这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。 首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k,根据 系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态： X(k|k-1)=A X(k-l|k-l)+B U(k) (1) 式⑴屮，X(k|k?l)是利用上一状态而进行预测的结果，X(k-l|k-l)是上一状态最优的结果，U(k) 为现在状态的控制量，如果没冇控制量，它可以为0。 到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的协方差述没更新。我们 用P表示协方差矩阵(covariance)： P(k | k-l)=A P(k-11 k-1) Az+Q (2) 式(2)中,P(k|k?l)是X(k|k?l)对应的协方差,P(k-l|k-l)MX(k-l|k-l)M应的协方差,A表示A 的转置矩阵，Q是系统过程的协方差。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当屮的前两个， 也就是对系统的预测。 计算卡尔曼增益矩阵(Kalman Gain)Kg： TOC \o 1-5 \h \z Kg(k)= P(k|k-1) Hz/(H P(k|k-1) H# + R) (3) 现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量 值和卡尔曼增益，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)： X(k | k)= X(k | k-l)+Kg(k) (Z(k)-H X(k | k-1)) (4) 到现在为止，我们已经得到了 k状态卞最优的估算值X(k|k)。但是为了要令卡尔曼滤波器不 断的运行下去直到系统过程结束，我们还耍更新k状态卜-X(k|k)的协方差： P(k|k)= (l-Kg(k)H) P(k|k-1) (5) 其中I为1的矩阵，对于单模型单测fi, l=lo当系统进入k+1状态时,P(k|k)就是式子(2) 的 P(k-l|k-l)0 这样, 的 P(k-l|k-l)0 这样, 算法就可以印川归的运算下去。 根据估计值和测量值得出放 优方程X(k|k) V 3.基于卡尔曼滤波的温度估计 TOC \o 1-5 \h \z C(k | k-l)=A C(k-11 k-l)+B U(k) (1) P(k | k-l)=A P(k-11 k-1) A*+Q (2) Kg(k)= P(k | k-1) H7(H P(k| k-1) Hz + R) (3) C(k|k)= C