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第 PAGE 12 页 共 NUMPAGES 12 页 工程问题 一、什么是工程问题 　　在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 　　工作量=工作效率×时间. 在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题” 二、工程问题存在的比例关系 　　工作总量相同，工作效率和工作时间成反比； 　　工作时间相同，工作效率和工作总量成正比； 　　工作效率相同，工作时间和工作总量成正比。 三、例子 　　例：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？ 　　一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位， 　　 　　 　　再根据基本数量关系式，得到 　　所需时间=工作量÷工作效率 　　 　　=6（天）? 　　两人合作需要6天. 一、两个人的问题 　　标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体. 例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？ 　解一：甲做了3天，完成的工作量是 eq \f(3,9) = eq \f(1,3) ,乙还需完成的工作量是1- eq \f(1,3) = eq \f(2,3) 　乙每天能完成的工作量（工作效率）是 eq \f(1,6) ，完成余下 eq \f(2,3) 的工作量所需时间是 eq \f(2,3) ÷ eq \f(1,6) =4（天） 　　答：乙需要做4天可完成全部工作. 　　解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是 　　（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）. 　　解三：甲与乙的工作效率之比是 　　6∶ 9= 2∶ 3. 　　甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）. 　　例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 　　解：共做了6天后， 　　原来，甲做 24天，乙做 24天， 　　现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 　　这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的 eq \f(16,24) = eq \f(2,3) 　　如果乙独做，所需时间是 　　如果甲独做，所需时间是 　　答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天. 　　例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ 　　解：先对比如下： 　　甲做63天，乙做28天； 　　甲做48天，乙做48天. 　　就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的 　　甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做 　　因此，乙还要做 　　28+28= 56 （天）. 　　答：乙还需要做 56天. 　　例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？ 　　解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量 　　余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 　　2+8+ 1= 11（天）. 　　答：从开始到完工共用了11天. 　　解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作 　　（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）. 　　解三：甲队做1天相当于乙队做3天. 　　在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量. 　　4=3+1， 　　其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天. 　　例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？ 解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是 　　由于两队休息期间未做的工作量是 　　乙队休息期间未做的工作量是 　　乙队休息的天数是 　　答：乙队休息了5天半. 　　解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 　　两队休息期间未做的工作量是 　　（3+2）×16