初二数学.春.直升班.教师版.第9讲 梅涅劳斯定理.docxVIP

初二物理目标中考满分班 初二物理目标中考满分班 第一讲 第一讲 PAGE PAGE 6 PAGE PAGE 7 0 09 梅涅劳斯定理 模块一 梅涅劳斯定理的应用 模块二 梅涅劳斯定理的逆定理 初二数学目标名校直升班 初二数学目标名校直升班 第九讲 第九讲 梅涅劳斯定理 PAGE PAGE 34 PAGE PAGE 35 模块一：梅涅劳斯定理的应用 梅涅劳斯定理：如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形． 梅涅劳斯定理的证明： 证法一：如图，过C作CG//DF， ∵，， ∴． 证法二：如图，过A作AG//BD交DF的延长线于G， ∴，， 三式相乘即得：． 证法三：如图，分别过A、B、C作DE的垂线， 分别交于、、．则有////， ∴． 模块二：梅涅劳斯定理的逆定理 梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线． 模块 模块一 梅涅劳斯定理的应用 0 如图，在中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：． ∵直线是的梅氏线，∴． 而， ∴，即． 【教师备课提示】梅氏定理的主要应用是利用梅氏定理求求比例，这道题主要考查梅氏定理的直接应用．  如图，在中，AD、CE交于点F，若，，求． ∵直线是的梅氏线， ∴， 又，， ∴，∴，∴． 【教师备课提示】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线． 如图，点D、E分别在的边AC、AB上，，，BD与CE交于点F，．求． 对和截线，由梅氏定理得：， 即，∴．∴． ∴． 【教师备课提示】这道题主要考查梅氏定理和面积问题． 如图，在中，，，，，BF交DE于点P．求． 如图，过点作AG//DE交BC于G，交BF于O，则可得：，且． ∵直线是的梅氏线，∴． ∴． 【教师备课提示】这道题主要考查梅氏定理和线束模型的综合． 已知AD是的高，点D在线段BC上，且，，作于点E，于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG． 如图，设，EFG是的梅氏线． 则由梅涅劳斯定理． 显然的，， 于是，得． 【教师备课提示】这道题主要考查梅内劳斯定理和射影模型的综合． 如图，在中，D为BC的中点，．求． ∵HFC是的梅氏线， ∴， ∵D为BC的中点，， ∴，． ∴， ∴． ∵GEC是的梅氏线， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 【教师备课提示】这道题主要考查多个梅氏定理的应用，考查相对综合．  模块 模块二 梅涅劳斯定理的逆定理 0 P是平行四边形ABCD内任意一点，过P作AD的平行线，分别交AB于E，交CD于F；又过P作AB的平行线，分别交AD于G，交BC于H，又CE，AH相交于Q．求证：D，P，Q三点共线． 对和截线DPQ， 由梅涅劳斯定理的逆定理得： ， 故D，P，Q三点共线． 【教师备课提示】这道题主要是考查梅氏定理逆定理判定三点共线． 如图，在中，的外角平分线与边BC的延长线交于点P，的平分线与边CA交于点Q，的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线． AP是的外角平分线，则 ① BQ是的平分线，则 ② CR是的平分线，则 ③ 得， 因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延长线上， 则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P、Q、R三点共线． 【教师备课提示】这道题主要考查梅氏定理和角平分线定理的综合应用．  复习巩固 复习巩固 模块 模块一 梅涅劳斯定理的应用 0 如图，在中，，，AD、BE交于点，求． 由AFD截可得， 又，， ∴． 如图，在中，，．AM为BC边上的中线，于点D，CD的延长线交AB于点E．求． 由题设，在中，，， 由射影定理． 对和截线EDC，由梅涅劳斯定理， ，即． ∴．  如图，在中，D为AC中点，，求证：． ∵直线AE是的梅氏线，∴． ∴，∴， ∵直线AF是的梅氏线，∴， ∴，．∴． 模块二 模块二 梅涅劳斯定理的逆定理 0 如图，CD、BE、AF分别为（不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB、AC、BC于D、E、F．证明：D、E、F三点共线． 过C作BE的平行线，则， 所以是等腰三角形．则． 则有：． 同理；． 所以． 所以D、E、F共线． 笔 记 区 笔 记 区 笔 记 区 笔 记 区