《线性代数》电子教案四.pptVIP

第四章 向量组的线性相关性 §4.3 向量组的秩 B= 第四章 向量组的线性相关性 §4.3 向量组的秩 本节作业 课本P108：13，14（1），15，18，19，20 §4.4 向量空间 第四章 向量组的线性相关性 §4.4 向量空间 一. 向量空间的概念 1. n维实(列)向量的全体 Rn = {(x1, x2, …, xn)T | x1, x2, …, xn?R} 关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算 满足如下8条基本性质: 关于加法: (1) 交换律; (2) 结合律; (3) ?0; (4) ? 关于数乘: (5) 1·? =?; (6) k(l?) = (kl)?; (7) (k+l)? = k? +l?; (8) k(?+?) = k? +k?. 第四章 向量组的线性相关性 §4.4 向量空间 2. 设V是n维向量的集合，如果V非空, 且对向量的加法及数乘封闭, 即 注意：仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运算也构成一个向量空间, 我们称之为零空间. Rn就是一个向量空间（对加法和数乘封闭）. 则称V (实)向量空间. ??, ??V, k?R, 有?+??V, k??V, 第四章 向量组的线性相关性 §4.4 向量空间 例10. 检验下列集合是否构成向量空间. (1) V = {(x, y, 0) | x, y ? R}; (2) V = {(x, y, z) | x, y, z ? R, x+y?z = 0}; (3) A?Rm?n, b?Rm, b?0, KA = {??Rn | A? = 0}; SB = {??Rn | A? = b}. (4) ?1, ?2, …, ?s?Rn, L(?1, ?2, …, ?s) = { | 诸ki?R}. s ? ki?i i=1 称为由?1, ?2, …, ?s生成的向量空间, ?1, ?2, …, ?s称为生成元. 第四章 向量组的线性相关性 §4.4 向量空间 第四章 向量组的线性相关性 §4.4 向量空间 二. 向量空间的基与维数 设V是一个向量空间, ?1, ?2, …, ?r是V中一线性无关向量组, 并且V中任一向量都能由?1, ?2, …, ?r 线性表示, 则称(有序)向量组?1, ?2, …, ?r 是向量空间V的一组基. r称为V的维数. 记为维(V)或dim(V). n维基本单位向量组就是Rn的一组基, dim{Rn} = n; 例11. 求例10中的各向量空间的基与维数. 零空间没有基, 规定dim{0} = 0. 第四章 向量组的线性相关性 §4.4 向量空间 若向量组?1, ?2, …, ?r 是向量空间V的一组基. 则向量空间V可以表示为： V={x=k1?1+ k2?2+… kr?r︱k1, …, kr ∈R} 即V是基所生成的向量空间。 请判断命题： 向量空间的基与向量空间是等价的。 第四章 向量组的线性相关性 §4.4 向量空间 定理: 向量组?1, ?2, …, ?s的任一极大无关组都是L(?1, ?2, …, ?s)的一组基, 故dim{L(?1, …, ?s)} =R(?1, …, ?s). 特别地, 设矩阵A?Rn?s, A1, A2, …, As依次为矩阵A的s个列向量. 则称L(A1, A2, …, As)为矩阵A的列空间. dim(L(A1, A2, …, As)) = R(A). 注意：上面的定理告诉我们一种求向量空间基的方法。 可以用求向量组的最大无关组的做法求向量空间的基。 第四章 向量组的线性相关性 §4.4 向量空间 求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数. 例12. 设A = [A1, A2, A3, A4] = , 问题：对一个含有无限多个向量的向量空间，不可能写出所有的向量，此时如何求该向量组的基？ 考虑一下向量组等价的含义，只要能够找到含有限个向量的与原向量空间等价的向量组，则该向量组的任意一个最大无关组就是向量空间的基。 第四章 向量组的线性相关性 §4.4 向量空间 解: 初等 行变换 可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4. 事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成L(A1, A2,