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《线性代数》电子教案 线性代数总复习 第六部分 二次型 二次型 基本概念 标准型化 正定二次型 第六部分 二次型 定义：含有n个变量x1, x2, …, xn的二次齐次函数 矩阵表示：f = xTAx——A对称，称A为f的矩阵，称f 为A的二次型，且f与A一一对应。 标准形：只含平方项 规范型：ki在-1,0,1,中取值 二次型的秩：R(f) = R(A) 惯性定理 线性代数总复习 第六部分 二次型 基本概念 标准型化 正定二次型 二次型 配方法 正交变化法 写出二次型矩阵A 将A相似对角化，同时得正交变换矩阵Q 令x=Qy，即得标准型 定义 ?x ? 0 ? f(x) 0 充要条件 特征值全大于0 正惯性指数等于n A与E合同 顺序主子式全大于0 有可逆阵Q, 使A = QTQ ? * 总复习 线性代数总复习 第一部分 行列式 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 逆序 奇/偶排列 一个排列中，某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。 一个排列中所有逆序的总数叫做该排列的逆序数。 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 逆序 奇/偶排列 逆序数为奇数的排列叫奇排列。 逆序数为偶数的排列叫偶排列。 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 D = (不同行、不同列元素乘积的代数和) 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 行列式互换两行(列)，行列式变号。 推论: 行列式有两行(列)相同，则此行列式为零。 性质3 行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k，等于用数k乘以该行列式。 推论: 行列式的某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号外。 性质4 行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则此行列式为零。 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 性质5 若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和，即若 性质6 行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式值不变。 则此行列式等于两个行列式之和，即 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 第一部分 行列式 代数余子式 一般地, 在n阶行列式中, 把元素aij所在的第i行和第j列划去, 留下来的n?1阶行列式叫做元素aij的余子式, 记作Mij, 令Aij = (?1)i+jMij, 并称之为aij的代数余子式. 线性代数总复习 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 第一部分 行列式 克拉默法则(求解齐次线性方程组的一种方法) 齐次线性方程组有非零解的充分条件 三角化法 递推法 数学归纳法 展开法 拆项法 … 线性代数总复习 其它几个重要定理及结论： 定理 n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零. 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + … + ainAjn = 0 (i ? j) a1iA1j + a2iA2j + … + aniAnj = 0 (i ? j). 上(下)三角行列式的值等于主对角线元素的乘积 第一部分 行列式 线性代数总复习 第二部分 矩阵 第二部分 矩阵 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 m×n个数构成的m行n列的数表 加法：A+B=(aij+bij), A、B是同型矩阵 A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), A + O = A, A + (?A) = O, 数乘：kA=k(aij) k(lA) = (kl)A, (k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB cij = ? aikbkj. k=1 s 矩阵乘法：AB=C，其中 C是m×n矩阵. (AB)C = A(BC), A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (kA)B = k(AB). 线性代数总复习 第二部分 矩阵 第二部分 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 转置： A=(aij), AT=(aji) 方阵的行列式：(AT)T = A, (kA)T = kAT, (A+B)T = AT +