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* §3.9 定积分的物理应用 一、变力作功问题 中有一个不变的力 作用在这物体上，且这 力的方向与物体的运动方向一致，那么，在 物体移动了距离 时，力 对物体所作的功 就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想. 为 由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的， 设将位移的方向取为坐标轴的方向，又力是位移 的连续函数F(x)，其中x 是质点的坐标，在力的 作用下，质点从点a移至点b，求力F(x)所作的功. o a b x x x+dx F（x） 分析：用微元法，在[a,b]上任一个小区间[x, x+dx], 对于小区间[x, x+dx]，可近似地视该 小段上的质点 位移受力不变，都是F(x). 于是功微元为： 功微元为： 从而质点从点a移至点b时，力F（x）所作的功为： o a b x x x+dx F(x) 解 功元素 所求功为 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 解 建立坐标系如图 例2 一圆柱形蓄水池高 为5米，底半径为3米，池 内盛满了水.问要把池内的 水全部吸出，需作多少功？ 这一薄层水的重力为 功元素为 (千焦)． 解 设木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为 例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的 阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在 第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击 所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入 多少？ 次锤击所作的总功为 设 次击入的总深度为 厘米 依题意知，每次锤击所作的功相等． 次击入的总深度为 第 次击入的深度为 例4 解 如图所示建立坐标系. 于是对半圆上任一点,有 故所求速度为 故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 例 5 有一长度为 l 、线密度为 r 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点 M ，计算该棒对质点 M 的引力． 解 建立坐标系如图 将典型小段近似看成质点 小段的质量为 二、引力 小段与质点的距离为 引力 水平方向的分力元素 由对称性知，引力在铅直方向分力为 *