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《金融数学》精算师培训 Interestraterisk ;马考勒久期（Macaulay duration） ;资产的价格： 为简化表述，用 y 表示名义收益率，当 m =1时，y就是实际收益率。 未来现金流为 Rt 的资产的价格可以表示为;马考勒久期：未来现金流到期时间的加权平均值，权数为每个现金流的现值在总现值中所占的比率，即： 马考勒久期越大，加权到期时间越长，从而资产价格对收益率的敏感性越高，资产的利率风险越大。 马考勒久期是一个时间概念，可以用年、月等时间单位计量。;例：一笔贷款的本金为L??期限为n，年实际利率为y，按年等额分期偿还。试求该笔贷款的马考勒久期。 解： 假设每年末的偿还金额为R;例：一项15年期按月等额偿还的贷款，每月复利一次的 年名义利率为24％，试计算这项贷款的马考勒久期。 解：应用上例的结果 ;利息力（收益率）对马考勒久期的影响 将马考勒久期对d 求导可得（请检验）;;;修正久期 ;资产价格对收益率y（假设每年复利m次）求导可得：;修正久期与马考勒久期的关系： 当 m→∞ 时， 而当m→∞时，名义收益率趋于利息力，即 y → d，因此;资产价格与修正久期的关系：;例：已知某债券的价格为115.92元，收益率为7.00%，修正久期为8.37。试计算当收益率上升为7.05%时，该债券的价格。 解：当收益率上升时，债券价格下降的百分比为： 所以新的债券价格可近似为： ; 资产价格随收益率变动的近似线性关系;有效久期 （effective duration） ; 债券价格随收益率变动的近似线性关系 ; 如果在修正久期中，用近似值代替P?(y)，则可以得到有效久期： 即;例：已知一个6年期可赎回债券的现价为100元，当收益 率上升100个基点时，该债券的价格将降为95.87元。当收益率下降100个基点时，该债券的价格将升至104.76元。试计算该债券的有效久期。 解：; 基于名义收益率的凸度C： 修正久期度量了收益率变化时债券价格的稳定性；凸度则度量了收益率变化时修正久期的稳定性。; 债券价格对收益率求二阶导数可得 所以凸度可按下式计算： 可以证明，凸度是收益率的减函数。;凸度对债券价格的影响;用利息力（连续复收益率）d 代替名义收益率 y，即可得到马考勒凸度： ;例：一项15年期按月等额偿还的贷款，每月复利一次的年名义利率为24％，试计算这项贷款的马考勒凸度。 解：y = 24%，m = 12，t = 1/12，2/12，…，15。贷款的现值为P = 48.5844; 马考勒久期与马考勒凸度的关系 ; 有效凸度 ;有效凸度 EffC 是对凸度C的一种近似计算： 即 ;例：已知一个6年期可赎回债券的现价为100元，当收益 率上升100个基点时，该债券的价格将降为95.87元。当收益率下降100个基点时，该债券的价格将升至104.76元。试计算该债券的有效凸度。 解：该债券的有效凸度为：;证券组合的久期： 方法一： 计算组合中每种证券的久期 以组合中每种证券的市场价值为权数计算这些久期的加权平均数。 方法二： 将证券组合设想为一种证券，将证券组合的现金流看作是设想证券的现金流 根据设想证券的现金流计算久期。 ;例：假设某证券组合由 n 种债券构成，债券 k 具有现值 Pk，久期Dk，则该证券组合的价格为： 该证券组合的久期为： 类似地，假设债券 k 的凸度为Ck，则证券组合的凸度为：;例：一个债券组合由两种面值为100的债券构成，两种债券到期后均按面值偿还，且年实际收益率均为5%。第一种债券的年息票率为6%，期限为5年。第二种债券为10年期的零息债券。试计算该债券组合的修正久期。 解：第一种债券的价格为;该债券价格对收益率的一阶导数为： 于是第一种债券的修正久期为：;类似地，第二种债券的价格为： 该债券价格对收益率的一阶导数为： ;于是第二种债券的修正久期为： 债券组合的价格为： 该债券组合的修正久期为：;马考勒久期：;马考勒凸度：;久期和凸度的综合应用 ; 应用上式时，恰当选择久期和凸度： 修正久期和凸度：名义收益率，固定现金流的资产。 马考勒久期和马考勒凸度：利息力，固定现金流的资产。 有效久期和有效凸度：名义收益率，固定现金流的资产或利率敏感型现金流的资产。;例：某债券的面值是1000元，期限为15年，年息票率为11%，到期时按面值偿还。如果年实际收益率为12