单元刚度矩阵-Read.ppt

② 子程序框图 SUBROUTINE SME3(NJ,NE,NI,ND2,E,AMU,H,LO,X,Y,SM,NTYPE) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (a-h,o-z) DIMENSION LO(NE,3),X(NJ),Y(NJ),SM(ND2,ND2),B(3),C(3),D(3,3), YB(3,6),S(3,6), 组集弹性刚度矩阵[D] （书式1-19） 计算应变矩阵[B] （书式1-17、24、25、26） 计算应力矩阵[S] （书式1-29） 计算单元刚度矩阵[k] （书式1-42） RETURN END ③ 子程序 见附页 SUBROUTING SME3(……) 3、单元刚度矩阵性质 nj?nj 单元刚度矩阵[k]的详细内容为（i、j是行列号）： （2-38） 单元刚度矩阵具有以下的性质： （1）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如，kij表示当单元位移中第j个元素为1(?j=1)其余元素为零时，引起的单元力中的第i个节点力Fi。 把平衡方程（2-38）写开 主对角线上元素kii(i=1,nj)恒为正值。 （2）[k]的每一行或每一列元素之和为零 F1 =0 F2 =0 F3=0 Fi=0 Fj =0 Fnj =0 r s t 图2-6 x y r s t 1 1 以上式中第i行为例， 当所有节点沿x向或y向都产生单位位移时，单元作平动运动，无应变，也无应力，因而单元结点力为零（不含初应力）。 所以有 即，[k]的每一行元素之 和为零。由于对称性， 每一列元素之和也为零。 （3）[k]是对称矩阵 由k单元的表达式，可见，由此可知[k]具有对称性。 nj?nj 对于主对角线元素对称。对称表达式： kij = kji 证明： ① kij表示当单元位移中第j个元素为1(?j=1)其余元素为零时，引起的单元力中的第i个节点力Fi ② kji表示当单元位移中第i个元素为1(?i=1)其余元素为零时，引起的单元力中的第j个节点力Fj 第 i自由度 第 j自由度 位移 ?i=1 ?j=1 力 Fi = kij Fj = kji 虚功 Fi ?i = kij Fj ?j = kji 由虚功原理，得 kij = kji （4）单元刚度矩阵是奇异矩阵（ 即[k]的行列式为零） 单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的。单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必定是平衡力系。然而，研究单元平衡时没有引入约束。承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定的，但位移不是确定的。所以出现性质（3）中的“平动问题”，即单元可以发生任意的刚体运动。从数学上讲，方程（2-38）的解不是唯一的或不能确定的。由此，单元刚度矩阵一定是奇异的。 （5）单元刚度矩阵是常量矩阵 单元力和单元位移成线性关系是基于弹性理论的结果。 2.7 等价节点力 从前面单元分析可以看出：单元平衡所用到的量均属于节点的量，如单元位移、单元力。载荷亦应如此，必须将体积力、表面力转化到节点上去，成为等价节点力（载荷）。在第2.5节中已经得到了公式（2-35）和（2-36）。 （2-35） （2-36） 这里，?Fd?就是体积力、表面力和集中力之和的总等价节点力。 （2-44） 把总等价节点力? Fd ?分解成体积力、表面力和集中力的等价节点力之和，有 ?FV?——单元上体积力的等价节点力 ?FS?——单元上表面力的等价节点力 ?pC?——单元上节点上的集中力 注意到式（2-35），得体积力等价节点力计算公式：P39 表面力的等价节点力计算公式： （2-45） （2-46） 1、体积力的等价节点力 2、表面力的等价节点力 3、等价节点力计算举例 （1）单元自重 图2-9所示平面应力三角形单元，单元厚度为h。单元单位体积自重为 ，自重指向y轴的负方向。 图2-9 i j m Pvix Pvjx Pvmx Pviy Pvjy Pvmy x y （2-45） ① 计算式 （2-21） 注意到形函数的性质4： （2-23） 得自重荷载的等价节点力 （2-22） （i,j,m） 根据体积力和式（2-45）、（2-21）、（2-22），得 （2-47） 上式表明：自重载荷的等价节点力为单元重量的1/3。 ② 子程序 见 SUBJPE.FOR （2）均布面力 i j m 图2-10 x y qs 单元边界上作用了均匀的分布力，如图2-10所示，其集度为?qs?。 （2-46） （2-21） 根据式（2-46）、（2-21）和（2-22） ① 计算式 注意到形