同济-高等数学-第三版(1.1)第一节函数.ppt

给定方程两边取指数函数有 由直接函数与其反函数的定义域与值域的关系有 x ?D = R f -1 =( - ?,-1]∪[ 1,+ ? )， y ? R f = Df -1 =[ 0,+ ? ). · 对调 x、y 的位置 (1) 函数复合问题与复合函数的概念 设有作直线运动的物体，其质量为 m ，速度为 v， 则物体的速度 v 与其动能 E 的函数关系为 若物体所作的是自由落体运动，则其下落速度 v 与 时间 t 的函数关系为 v = g t . 通过变量 v 的联系使得物 体下落时间 t 与动能 E 构成函数关系。可求得该作自由 落体运动的物体下落时间 t 与动能 E 的函数关系为 · 复合函数的概念 从运算角度看，时间 t 与动能 E 的关系的建立就 是将物体下落时间 t 与速度 v 的函数关系式 v = v( t )代 入动能 E 与速度 v 的函数关系式 E = E( v )而得的。 这种将一个函数代入另一个相关函数形成新函数 的过程称为函数的复合，通过函数复合所得的函数称为 复合函数。 上述函数复合过程一般形式为： 设有函数 y = f( u )，u ? D1 ，y ?W1； u = ?( x ), x ? D2 ，u ?W2 ． 通过代入法便可得到新的函数形式 y = f[?( x )]. 由函数复合的概念会产生如下问题： 是否任意两个函数 y = f( u )，u = ?( x )通过代入法 总可复合成新的函数 y = f[?( x )]？或者说，在什么 条件下两函数可复合为新的函数 y = f[?( x )]? 如果两个函数 y = f( u )，u = ?( x )能复合为新的函 数 y = f[?( x )]， 其定义域是什么？ 复合函数的定义域与原先函数的 定义域有什么关系？ · 函数复合的条件 例：设有函数 y = f( u )= arcsin u，其中 u = ?( x )= a x + a - x， x ? D? =( - ? ,+ ? )，u ?W? = [ 2 ,+ ? ). 考察两函数能否通过代入法复合成新的函数。 将 u = ?( x )= a x + a- x 代入 f( u )= arcsin u， 可得形式函数 y = f[?( x )]= arcsin( a x + a - x ). 然而这一形式函数并不构成 x、 y 间的函数对应关 系。因为对 ? x ? D? =( - ? ,+ ? )，u = a x + a - x ? 2，即 u = ?( x )= a x + a - x ? D f ，故形式函数 y = f[?( x )]= arcsin( a x + a - x )无意义。 两函数 y = f( u )，u = ?( x )能否通过代入法复合 成新函数，取决于二者定义域与值域的相互关系。 具体可分为三种情形： 若 W? ? D f 则 y = f( u )，u = ?( x )能通过代入法构成复合函数 y = f [? ( x )]，且有 D f? = D? ； (1) 函数奇偶性的定义 设函数 f( x )的定义域 D 关于原点对称，若对于任 意的 x ? D , f( -x )= f ( x )恒成立，则称 f( x )为偶函数; 若对于任意 x ? D , f( -x )= - f( x )恒成立，则称 f( x ) 为奇函数。 需注意的是，函数的奇偶性是定义在以原点为对称 的区间上的，非对称区间上不能定义奇偶性。 　　例如，不能说函数 y = sin x，x ?[ 0,? ]是奇函数。 奇函数和偶函数有明显的几何特征：奇函数的图形 对称于原点；偶函数的图形对称于 y 轴。 奇函数图形 偶函数图形 · 奇、偶函数的几何性质 对于形式较为复杂的函数，直接根据定义判别其 奇、偶性有时较麻烦。应用中常可考虑通过奇、偶函数 的运算性质判别其奇、偶性。 奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件下保持相 应的奇、偶性。 例如：奇＋奇 = 奇，偶＋偶 = 偶； 奇×奇 = 偶，偶×偶 = 偶。 · 奇、偶函数的运算性质 C. P. U. Mat