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《弹性力学》课堂练习题
1. 已知弹性体中某点的应力分量为σ = 10MPa σ = 10MPa τ = 5MPa
， ， ，其余应力分量为零。
x y xy
试求三个主应力的大小。
解：
σ 3 − I σ 2 + I σ − I = 0
1 2 3
I = σ + σ + σ = 20MPa
1 x y z
I = σ σ + σ σ + σ σ −τ 2 −τ 2 −τ 2 = 75MPa
2 y z x z x y yz xz xy
σ τ τ
x xy xz
I = τ σ τ = 0
3 xy y yz
τ τ σ
xz yz z
σ = 15MPa ，σ = 5MPa ，σ = 0
1 2 3
2. 设在xyz 坐标系中，一点的应力状态为
⎡x 0 0⎤
⎢ ⎥
σ ij = ⎢0 y 0 ⎥
⎢⎣0 0 0⎦⎥
试计算该点在xy 平面内与x 轴成θ 角的斜面的正应力和剪应力。
解：
斜截面的外法向矢量
− sinθ ⎡ ⎧sinθ ⎫⎤
⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪⎥
n = cosθ 或 − cosθ
⎨ ⎬ ⎢ ⎨ ⎬⎥
⎪⎩ 0 ⎭⎪ ⎢⎣ ⎪⎩ 0 ⎭⎪⎦⎥
正应力
σ = σ n n = x sin 2 θ + y cos2 θ
n ij i j
全应力
− x sinθ
⎧ ⎫
⎪ ⎪
T = σ n = ⎨y cosθ ⎬
i ij j
⎪⎩ 0 ⎭⎪
剪应力
2 2
τ = T − σ
n
3. 已知物体内一点的六个应力分量为：
σ = 50a ，σ = 0 ，σ =−30a ，τ =−75a ，τ = 80a ，τ = 50a
x y z yz zx xy
1 1 1
试求法线方向余弦为n
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