同济-高等数学-第三版(9.1)第一节二重积分的概念与性质.ppt

物理意义 二重积分的物理意义取决于被积函数的物理意义。 例如，若被积函数 f( x ,y )的物理意义为平面薄片 D 的面密度，则相应二重积分的物理意义为平面薄片 D 的质量，即 与其相关的二重积分的物理意义分别为薄片 D 的 关于 y、x 轴的静力距及薄片重心坐标： 二重积分的本质是极限，因而可由极限性质导出 二重积分性质。 若 f( x ,y ),g( x ,y )在 D 上连续，则二重积分具有 如下性质： 性质1 常数可从积分号中提出 性质 2 分项积分法 性质 3 关于积分区域的可加性 性质 4 一种面积计算法 若 f( x ,y )? 1，则有 性质4 的几何意义是，高为1的平顶柱体的体积值 等于其底面积值。 这一性质实际指出了 一种利用二重积分计算平 面区域面积的方法。 性质 5 单调性不等式 若当( x ,y )? D 时有, f( x ,y )? g( x ,y )，则有 若 f( x ,y )? 0，则 因为 -? f( x ,y )?? f( x ,y )? ? f( x ,y )?，故有 有用的特例 重积分对应于多元函数的某种和式极限问题，它是 定积分概念的推广。 重积分的方法是将多元函数局部线性化，从而可将 某些变量问题转化为常量来处理。 二重积分是定义于平面区域上的一类和式 的极限，其来源可分为几何和物理两个方面。 二重积分的几何来源是求立体的体积问题；其 物理来源是沿平面区域连续分布的质点系所对 应的各类物理量的计算问题。 二重积分的方法是将二元函数局部常量 化，从而可使某些变量问题转化为常量处理。 (1) 立体的体积计算问题 立体体积计算也是数学研究的一个基本问题。直到 微积分建立之前，人们只能计算一些最简单的由平面围 成的立体体积，如长方体、六面体、四面体，棱柱体等, 而锥体和台体等只是这些计算的延伸。 球体体积算法作为曲面围成的立 体体积只是一种特殊方法，并不适用 于求一般由曲面围成的立体的体积。 体积的古典概念：定义单位立方体体积为1, 考察立体中能放入多少个单位立方体。 古典的立体体积计算所采用的都是基于立体的特殊 性而建立的特殊方法，并不具有一般性。 由于一般的空间立体可看成是由封闭曲面围成的空 间区域。因此，作为数学方法的讨论，自然应考虑寻求 计算由封闭曲面围成的立体体积计算的一般方法。 为建立计算体积的一般方法首先需考虑解决两个最 基本的问题： 什么是立体体积？即如何定义体积？ 如何考虑由曲面围成的立体体积计算？ 投影 作柱面 ? = ? 1 - ? 2 (2) 以函数观点考察立体体积问题 空间立体 由封闭曲面 F( x ,y ,z )= 0 围成的区域。 由方程 F( x ,y ,z )= 0 确定的多值函数，它可分解 为两个单值函数 z = f1( x ,y ),z = f2( x ,y ),( x ,y )? D. 对应于定义于区域 D 上的曲顶柱体 ? 的顶面： ? 1: z ? f1( x ,y ), ? 2: z ? f2( x ,y ),( x ,y )? D. 两曲顶柱体体积之差：? = ? 1 - ? 2 . 封闭曲面 单值函数 立体体积 (3) 曲顶柱体体积的计算 考虑定义在区域 D 上的二元单值函数 z = f( x ,y ), 所对应的曲顶柱体体积 V: 0 ? z ? f( x ,y ),( x ,y )?D . 平顶柱体体积是易于求得的， 而曲顶柱体体积则不宜直接计算。 “曲和平”是相对的，在大的范 围内呈现出凹凸不平的曲面在较小的 范围内可看成是平的。 因此考虑对曲顶柱体进行适当分 割，使其转化为平顶柱体以计算体积。 分割 —— 化整为零 用曲线网分割区域 D，使其化为一系列的小区域： D：? ? 1,? ? 2 ,… ,? ? i ,… ,? ? n . 相应地，曲顶柱体被分割成一系列的小曲顶柱体： V：?V1,?V 2 ,… ,?V i ,… ,?V n . 考虑分割之下的任一小曲顶柱体体积的计算： 任取( ? i ,? i )? ? ? i ,( 1 ? i ? n )， 则相应的小曲顶柱体体积可近似地表为：