同济-高等数学-第三版(2.5)第五节隐函数求导,参数方程求导.ppt

由水平及铅直分速度确定速度大小和方向 求速度的大小 所求速度的水平分速度为 铅直分速度为 故抛射体的速度大小为 求速度的方向 所求速度的方向就是轨迹的切线方向，设 ? 是切 线的倾角，由导数的几何意义有 在抛射体刚射出时，即 t = 0 时 当 v 2 - g t = 0，即 t = v 2/g 时 此时抛射体运动方向是水平的，即抛射体达到最高点。 例：设摆线的参数方程为 求由此方程确定的函数 y = y( x )的二阶导数。 这是求由参数方程所确定的函数的二阶导数的 问题。参数方程求二阶导数就是按参数方程求导法逐阶 计算导数。 按参数方程求导法逐阶计算 当 x t? = a( t – sint )? = a( 1 – cost ) ? 0，即 t ? 2k? 时， 由此参数方程所确定的函数可导，其导数为 求一阶导数 当 t ? 2k? 时，x t? = a( 1 – cost ) ? 0，此参数方程所 确定的函数具有二阶导数，其二阶导数为 求二阶导数 在实际问题及理论分析中，函数并非总以 y = f ( x )的形式出现，而常常表示为隐函数或 参数方程。因此必需研究隐函数和由参数方程 表出的函数的求导问题。 (1) 隐函数的概念 在过去的讨论中，函数关系 y = f( x )都以自变量 x 的表达式给出，即因变量 y 在等式一边，而等式右边是 自变量 x 的一个式子，如 y = a x + sin x . 用这种方式表 达的函数称为显函数。 然而在许多情形下，函数关系并不一定能由显函数 表出。例如，xoy 平面上的曲线常以一个方程形式给出 的，如 y 5 + 2y - x - x 7 + 1 = 0 ，此时相应的函数关系表 示为一个二元方程 F( x ,y )= 0 ，这种由方程给出的函 数称为隐函数。 (2) 隐函数的显化及单值隐函数存在性问题 以往关于函数性质的讨论都是依赖于其表达式进行 的，即都是根据显函数形式进行的。因此对由方程给出 的函数关系 F( x ,y )= 0，总希望将其转化为显函数形 式进行讨论，这就是隐函数的显化问题。 例如，将由方程 x 2 + y 2 - 1 = 0 表示的隐函数化为 进行讨论。 然而，在许多情形下隐函数不一定能化为显函数。 因为所谓隐函数的显化实际是由方程 F( x ,y )= 0 解出 y = f( x )的过程，即求方程公式解的过程。 由方程理论，五次以上的代数方程没有公式解，因 此通过隐函数显化来讨论隐函数性质是行不通的。 另一方面，即使隐函数可以显化，由方程确定的隐 函数也未必是单值函数。因此， 隐函数的讨论需考虑在不解出 y = f( x ) 的情形下确定其性质， 同时希望能找出判别出所论隐 函数是否为单值函数的条件。 隐函数求导的基本问题：在已知方程 F( x ,y )= 0 确定了单值隐函数 y = y( x )的条件下，考虑如何能不 通过解出函数 y( x )的表达式而计算其导数。 设方程 F( x ,y )= 0 在某区间 I 内确定了单值隐函 数 y = y( x )，考虑其导数计算问题： 将 y( x )代入方程有 F[ x ,y( x ) ]= 0 . 由于方程左端 F[ x ,y( x )] 可看 成是以 y( x )为中间变量的复合函数， 故可考虑用复合函数求导法建立 导数方程，并由此解出 y ?( x ). (3) 隐函数求导原理 方程 F[ x ,y( x ) ]= 0 两边对 x 求导，由复合函数 求导规则有 由链式规则的形式知，方程 G( x ,y ,y ? )= 0 的左边关于 y ?( x ) 总是线性的，故由此方程总可解出 y ?( x ) ，从而可求得由方程确定的 隐函数 y( x )的导数 y ?( x ). 由方程 F( x ,y )= 0 能否确定隐函数 y( x )本质上 是对给定的 x，方程 F( x ,y )= 0 是否总有解的问题。 此问题将在下册讨论，目前只考虑在隐函数存在且可 导的条件下如何计算其导数。因此只需认定 y 是 x 的 函数并按复合函数求导规则在方程两边对 x 求导。当 然也可认定 x 是 y 的函数，并在方 程两边对 y 求导。 由隐函数求导法求得的导函 数 y ?( x )一般既含 x 又含 y ，即隐 函数求导的结果通常仍是隐函数。 (4) 隐函数的导数计算 例