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实验四 快速傅里叶变换（ FFT ） 4.1 实验目的 1）加深对快速傅里叶变换（ FFT ）基本理论的理解； 2 ）了解使用快速傅里叶变换（ FFT ）计算有限长序列和无限长序列信号频谱的方法； 3）掌握用 MATLAB 语言进行快速傅里叶变换时常用的子函数。 4.2 实验原理 1）用 MATLAB 提供的子函数进行快速傅里叶变换 从理论学习可知， DFT 是唯一在时域和频域均为离散序列的变换方法，它适用于有限长序列。尽 管这种变换方法是可以用于数值计算的，但如果只是简单的按照定义进行数据处理，当序列长度很大 时，则将占用很大的内存空间，运算时间将很长。 快速傅里叶变换是用于 DFT 运算的高效运算方法的统称， FFT 只是其中的一种。 FFT 主要有时域 抽取算法和频域抽取算法，基本思想是将一个长度为 N 的序列分解成多个短序列，如基 2 算法、基 4 算法等，大大缩短了运算的时间。 MATLAB 中提供了进行快速傅里叶变换（ FFT ）的子函数，用 fft 计算 DFT ，用 ifft 计算 IDFT 。 2 ）用 FFT 计算有限长序列的频谱 基本概念： 一个序号从 到 的时域有限长序列 ，它的频谱 j ω 定义为它的离散时间傅里叶变换， n n x( n) X (e ) 1 2 且在奈奎斯特（ Nyquist ）频率范围内有界并连续。序列的长度为 N ，则 N = n2 - n1 + 1 。计算 x( n) 的离 j ω j ω 散傅里叶变换（ DFT ）得到的是 X (e ) 的 N 个样本点 X (e k ) 。其中数字频率为 2 π ω = k( ) = kd ω k N d ω 式中： 为数字频率的分辨率； k 取对应－ (N－1)/2 到 (N－ 1)/2 区间的整数。 在实际使用中，往往要求计算出信号以模拟频率为横坐标的频谱，此时对应的模拟频率为 2 π 2 π ? = ω/T = k( ) = k( ) = kD k k s N Ts L 式中： D 为模拟频率的分辨率或频率间隔； Ts 为采样信号的周期， Ts＝1/Fs；定义信号时域长度 L ＝ NTs 。 在使用 FFT 进行 DFT 的高效运算时， 一般不直接用 n 从 n1 到 n2 的 x (n) ，而是取 x( n) 的主值区间 (n＝0， 1，… ，N－1)的数据，经 FFT 将产生 N 个数据，定位在 k＝0 ， 1，… ，N－1 的数字频率点上， 即对应［ 0 ，2 π］。如果要显示［－ π， π］范围的频谱，则可以使用 fftshift(X) 进行位移。 频谱的显示及分辨率问题： 例 1: 已知有限长序列