数学试验室八年级.doc

聪　　明　　的　　小　　蜜　　蜂 江苏省连云港市新海实验中学　　　　孟庆亚　 同学们，大家都见过小蜜蜂吧！你们观察过蜂巢的形状吗？如果没有，那就仔细观察图1． 是的，它们都是正六边形．蜜蜂为什么把自己的房子建成这样的形状呢，下面我们一起来研究这个问题． 大家知道：周长一定的正多边形中，边数越多面积就越大；在所有周长相等的图形中，圆的面积最大．哪蜜蜂为什么不把蜂巢建成圆形的呢？ 大家观察图2，有何发现？ 　　　　　　　　　 图1 图2 是的，圆与圆之间还有空隙，聪明的小蜜蜂才不愿意浪费这些空间和蜂蜡呢，它们想用一种正多边形来“镶嵌”自己的蜂房．对于“镶嵌”，我们的教材第三章第105页是这样规定的“用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌．” 下面我们就一起来研究用一种正多边形来镶嵌平面的问题．我们很容易把这个问题转化为：可以镶嵌的必须满足“在平面上的一个点处用一种正多边形的若干个内角无空隙、无重叠地拼成周角．” 而正n边形的每个内角都等于．假设用k个内角可拼成周角，那么就有×k＝360，即（n－2）k＝2n，也就是（n－2）（k－2）＝4.所以n－2＝1或2或4，即n＝3或4或6．由此可知如果只用一种正多边形来镶嵌平面，那正多边形只能是正三角形、正方形或正六边形． 正三角形 正方形 正六边形 正三角形 正方形 正六边形 圆的周长与所围成的面积具有最有效的比率，也具有最大的强度（抗挤压），不过多个圆却无法镶嵌平面．现在充分发挥你们的想象力，如果把图2中的圆挤压，将会怎样？ 是的，这些圆的形状就变成紧密包围起来的正六边形的网格．蜜蜂采用这种形状，并非巧合．蜜蜂无疑会喜欢为自己建造圆形的巢穴，这是因为圆具有高强度，可是蜜蜂也不愿意浪费空间和蜂蜡．正六边形是理想的方案．一个正多边形的边数愈多，则对给定周长而言它所能包容的面积愈大．在这方面，正六边形优于正三角形和正方形，但是逊于正七边形、正八边形…以及圆．然而正六边形是能镶嵌平面的边数最多的正多边形．这就使而正六边形的排列成了利用最少材料产生最强力量的结构．从这点看，小蜜蜂无疑是“大数学家、天才的建筑师．” 现在我们再从另外的角度来研究“镶嵌”问题．首先我们从仅用一种多边形（不一定是正多边形）来镶嵌平面．由上面的讨论容易知道三角形、四边形都可以镶嵌，如下图： 由上面的讨论我们已经知道正五边形不可镶嵌．不过，是否所有的五边形都不可镶嵌呢？答案是否定的！观察下图就明白了． 究竟有哪些五边形可以镶嵌呢，这个问题引起了人们极大的兴趣．1975年，美国人马丁·加德纳在《科学美国人》这本杂志上开辟了关于镶嵌图案的数学游戏专栏，许多数学家和业余数学爱好者都参加了讨论．其中有一位名叫玛乔里·赖斯的家庭妇女是最热情的参予者之一．赖斯是五个孩子的妈妈，1939年中学毕业前只学过一点简单的数学，没有受过正规的数学专业教育．她除了研究正多边形的镶嵌问题以外，还研究了一般五边形．她独立地发现了一种五边形，并且向加德纳报告了这一发现．加德纳充分肯定了赖斯的研究成果，并把她介绍给一位对数学与艺术的和谐具有职业兴趣的数学家多里斯·沙特斯奈德．在沙特斯奈德的鼓励下，赖斯又发现了解决镶嵌问题的另外几种五边形，而使这样的五边形达到13种（上图是其中一种图形的特殊情形）． 赖斯的家务很忙，但这没有影响她研究的热情．她对人说：“在繁忙的圣诞节，家务占踞了我大量的时间，但只要一有空，我便去研究拼镶问题．没人时，我就在厨房灶台上画起图案来．一有人来，我就急忙地把图案盖上．因为我不愿意让别人知道我在研究什么”．下图就是她发现的第13种可以镶嵌的五边形： 是否还有第14种可以镶嵌的五边形？除正六边形外，是否存在别的可以镶嵌的六边形？是否存在可以镶嵌的七边形、八边形…，这些问题都值得进一步研究． 我们也可以从别的角度来研究这个问题，比如用多个图形一起来镶嵌平面，这或许是一个更具有挑战性的问题．在此，只给出几种情形： 正 正三角形与正方形 正八边形与正方形 正八边形与正方形 正十二边形与正方形、正五边形 正十二边形与正方形、正五边形 希望有兴趣的同学继续研究下去！此外，在工艺设计中人们也经常采用别的图案来装饰，让我们一起来欣赏几幅： 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 发表于 中学数学月刊 2009.12