考研线代框架.pdfVIP

⼆次型 核⼼考点：⼀标准型 ⼆正定三合同 ⼀标准型（8个） ⼆次型R其矩阵表示 ⼀般为三元⼆次型：要注意⼆次型的矩阵怎么写 1）函数式 2）矩阵式 标准型——只有平⽅项，⽆混合项 其⼀定是对⻆阵 规范型 1）在标准型基础下的 2）平⽅项系数只有三种可能1，-1，0 ； 3）将标准型化成规范型，只关注正负号（再⽤⼀次坐标变换） 正，负惯性指数 1）正平⽅项个数——正惯性指数 2）负平⽅项个数——负惯性指数 3）在标准型下看的 ⼆次型的秩 r （f）=r （A）=p+q ； 坐标变换 1）函数式，矩阵式 2）只要C 可逆 （⾏列式不为0）这种变换就是坐标变换（故⽽有⽆穷多个） 3）坐标变换的矩阵的推导 4）⼆次型矩阵A经坐标变换后成为新的⼆次型矩阵B，A ，B就合同。 合同 1）概念 2）A可以和很多矩阵合同 3）A ，B之间⼀共有三种关系 标准型的变换 1）概念 2）⽅法：配⽅法，正交变换法 3）配⽅法：先配x1 （全部配完之后，就没有x1），然后x2 ，最后x3 ，要注意最后写坐标变 换的时候（x=Cy），注意先x3=..y3 4）正交变换：若C 为正交矩阵，则称x=Cy为正交变换 （1）正交矩阵的概念，性质和⼏何意义 （2）A与对⻆阵关系：特征值中的关系，⼆次型的关系 （3）要求标准型，就是求A的特征值 （4）要求坐标变换（标准型的），就是求A的特征向量，对其加以改造（正交矩阵的 ⼏何意义） （5）⽤正交矩阵相似对⻆化与正交变换标准化的步骤（注意落款） ⼆正定 定义 1）注意正定矩阵⼀定是对称的（故⽽要证明正定，⼀定要先证对称） 正定的证明 1）步骤：1.检验A对称；2.证明正定 正定性质 1）正定的必要条件（2个，主对⻆线和⾏列式⼤于0） Note ：对⻆线元素⼩于等于0⼀定不正定（排除第⼀轮） 2）正定的充要条件（4个） （1）顺序主⼦式全⼤于0 ； （2）特征值全⼤于0 ； （3）A与E合同 （4）正惯性指数为n 3）证明 （1）定义法（注意内积xTx与（Ax）TAx） （2）特征值法 （3）A与E合同 （掌握证明讲义：P178） （4）p=n 三等价，相似，合同 A ，B等价（mxn） （四个充要条件） 1）A经初等变换得到B 2）Ps…P1AQ1Q2…Qt=B （初等矩阵） 3）PAQ=B （P，Q可逆） 4）A的秩等于B （注意同型情况下） A ，B相似（n阶） 1）定义 2）证相似，只有⼀个题会考，就是找对⻆阵做中介（都与对⻆阵相似） 3）不相似 （1）（利⽤相似的必要条件4个）1.特征值；2.秩；3.⾏列式；4.迹 （2）A可以相似对⻆化，但B不能相似对⻆化 4）实对称矩阵相似的充要条件：特征值相等（证明） （1）实对称相似⼀定合同，但合同不⼀定相似（推导） A ，B合同（n阶实对称） 1）应⽤：⼆次型的坐标变换 2）定义 3）充要条件（证明合同） （惯性定理）：正负惯性指数相等 Note ： 1.平⽅和两个重要结论 2.反对称定义，性质（3个） 3.举反例：特征值相同，但不相似 ⽅程组（重点）