初等代数研究__第1章_数与数系.ppt

* 复数域不能构成有序域，其含义是无法定义复数集上的全序关系，使加法运算和乘法运算都是保序的。（即无法比较大小） 但可以按字典方法把复数集排成全序集。 定义5 （复数的半序结构） 两个复数z=a+bi，w=c+di有半序关系z≤w，当且仅当,a≤c，b≤d。（满足半序关系的条件，加法和乘法的保序性。） * （1）如果i＞0，那么i·i＞0·i，即-1＞0。 （2）如果i＜0，那么-i＞0，(-i)2＞0·(-i) 即-10. 例如：i与0能不能比较大小？ 因此，i与0不能比较大小。 A 某中学老师对复数不能比较大小的一种解释： * 复数这种大范围的全序关系不能维持实数子域的自然顺序关系，甚至不能保持整数原有的自然顺序关系。 复数的结构是完备的半序域。复数还可以扩充为四元数系，八元数系。但四元数系不满足乘法交换律，八元数系不满足乘法结合律。 * 四、复数的欧拉公式 * 欧拉公式的发现 * 总结 数集 代数结构 离 散 性 稠 密 性 有 序 性 有序环或域 连 续 性 封闭运算种类 N 可换半群 √ × √ × × 3 Z 整环 √ × √ √ × 4 Q 域 × √ √ √ × 5 R 域 × √ √ √ √ 5 C 域 × √ √ × √ 6 * 第七节 关于数系的教学建议 数系的教学应当基本上采取“有意义接受”的方法，不宜采取“猜想—探究—发现”的方法。 三种类型的知识都宜用“有意义接受”的方法。 巩子坤 的博士论文：《有理数运算的理解水平及其教与学的策略研究》? 曾小平的论文：《基于数学规定的“有理数乘法教学—从数学的角度突破“负负得正”》。? * 注意运用适当的情景，帮助学生体会数系运算规则。例1和例2 注重数系的概念的同化过程。 概念形成和概念同化的含义； 平方根概念的学习。举例——平方根的概念——练习——一个正数平方根概念——接着讨论0的平方根——负数的平方根—学生讨论—完整的概念（两种方式结合）。 * 第八节 一些例题 例1：证明一个数是无理数。如P31例2、P182问题1.4等。 例2 P182问题1.4，证明素数有无穷多个。 * 数学归纳法的几种形式 ⑴第一数学归纳法 * 数学归纳法的几种形式 ⑵第一数学归纳法的一种变形（移动起点） * 数学归纳法的几种形式 （3）第二数学归纳法（串值归纳法） * 数学归纳法的几种形式 （4）第二数学归纳法的一种变形（增多起点） * 数学归纳法的几种形式 （5）有限项数学归纳法 设m为一给定的自然数，如果 （1）P（1）真； （2）若P（k）真（1≤k＜m）,则P（k+1）真。 那么， P（n）对不超过m的自然数n真。 * 数学归纳法的几种形式 （6）跳跃式归纳法（加大跨度） * 数学归纳法的几种形式 （7）反向归纳法 * 数学归纳法的几种形式 （8）螺旋归纳法 * * * * 例4 （2010全国卷1题） 复数（3+2i）/（2-3i）= (A)i (B) -i (C)12-13i (D) 12+13i 答案：A * 例5（2010江苏卷23题 ） 已知△ABC的三边长都是有理数。 求证cosA是有理数； 求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。 ① 证明：设三边长分别为 ， ，∵ 是有理数， 是有理数，分母 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， ∴ 必为有理数，∴cosA是有理数。 * ② Ⅰ当n=1时，显然cosA是有理数； 当n=2 时，∵ ，因为cosA是有理数， ∴ cos2A也是有理数； Ⅱ 假设当n≤k(k≥2)时，结论成立，即coskA、 cos(k-1)A均是有理数。 当n=k+1时， ， ， ， 解得： * ∵cosA， coskA是， cos(k-1)A均是有理数，∴ 2cosAcoskA-cos(k-1)A是有理数， ∴ cos(k+1)A是有理数。 即当n=k+1时，结论成立。 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。 * 本章作业 P35：1、3、4、7 思考题：对中学里的数学归纳法作一综述 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维