考研高数框架.pdf

【公众号◆资料魔法屋】【QQ群：774163765】 常微分⽅程 1.概念，2.⼀阶微分⽅程求解 3.⾼阶微分⽅程求解 4.应⽤题 1.概念（7个概念，了解即可） 微分⽅程—含有未知函数的导数或者微分的⽅程 常微分⽅程—未知函数为⼀元函数的微分⽅程 偏微分⽅程—未知函数为多元函数的微分⽅程 微分⽅程的阶—未知函数的导数的最⾼阶数为⽅程的阶数 微分⽅程的解—将函数代⼊⽅程，为恒等式，则该函数为解 微分⽅程的通解与特解—通解—解中独⽴常数的个数等于⽅程的阶数，特解—解中没有任何常数 初始条件（定解条件）—确定通解中的常数的条件 2.⼀阶微分⽅程求解 ⼀阶⽅程（4个） 1.可分离变量型（两边直接积分） 2.可化成可分离变量型 形如y=f(ax+by+c)型 （令u=ax+by+c,相应对x求导，则化成可分离变量） ⻬次型—形如y=f(y/x) (令p=y/x，相应求导，则可化为分离变量型） Note ：1.对于式⼦中出现lnu中u不知正负，则要带上绝对值，除过⼀阶线性 2.对于⼀阶线性⽅程，不⽤带绝对值（18版18讲P217有分析） 3.所求的通解可以不是全部解（线性：通解=全部解，⾮线性：通解不等于全部解） 4.在求通解中，⼀定要带上对独⽴常数C的限定 5.若出现不属于⼀阶⽅程四种类型，则考虑调换x ，y的地位 6.能写成显示解就写要写成显示解 3.⼀阶线性⽅程（要掌握推导解的公式，利⽤求导公式逆⽤法）—形如y+p(x)y=q(x) 4.伯努利⽅程（这⾥可以将其化成⼀阶线性，利⽤恒等变形中三种⽅法中换元） 形如y+p(x)y=q(x)yn(令y1-n=u ，相应求导，化成⼀阶线性） 5.全微分⽅程 利⽤积分与路径⽆关的性质，⽤折线法来求原函数=C ⼆阶可降阶⽅程 1.形如y=f(x,y) 缺y型——将y斩草除根（令y=u,y=u,化成了⼀阶） 2.形如y=f(y,y)缺x型——将x斩尽杀绝（令y=u,y=udu/dy,化成⼀阶） 要注意两种类型不同的处理⽅法 Note ：还有⼀种可降阶的n阶⽅程，连续求导即可 3.⾼阶微分微分⽅程的求解（2～4阶） ⼆阶线性微分⽅程的概念（详⻅18讲P218） 1.⻬次与⾮⻬次 2.变系数与常系数 注意若真的出现了变系数⼆阶，要想到换元，化成⼆阶（或者是欧拉⽅程） 解的结构与解的性质（各2个）（详⻅⾼数18讲P218） 1.⼆阶常系数⻬次线性微分⽅程的通解结构（两个线性⽆关的解（通俗理解就是相除不为常数）可 以构成起通解） 2.⾮⻬次的解的结构——⻬次的特解+⾮⻬次的特解 3.两个⾮⻬次的特解相加为⼀个全新⾮⻬次的特解（叠加原理） 【公众号◆资料魔法屋】【QQ群：774163765】 4.两个⾮⻬次的特解相减为其⻬次的⼀个解 ⼆阶常系数⻬次线性微分⽅程求解（背公式） ⾮⻬次的特解（背公式） n阶常系数线性⻬次微分⽅程求解（背公式） 注意特征⽅程的特征根各种情况（四种情况） 4.欧拉⽅程（仅数⼀）（18讲259） 形如x2y+pxy+qy=f(x) 换元：当x⼤于0 当x⼩于0 4.应⽤题： 1.背景公平——信息给予 2.翻译成数学表达式 Note ：注意⽐例系数应是正号，或负号，应根据题意主动添上 【微信公众号（免费分享）◆资料魔法屋】【QQ群：774163765】 ⼀元函数微分学 1.概念 2.计算 3.应⽤ 4.证明 1.概念 导数（3个） 1.导数的定义，分成增量型与函数差式（三个注，三个结论） Note ：1.左右有别（⼀点导数存在等价于左右导数相等） 2.⼴义化为狗 3.⼀动减⼀静（注意举反例，f=x的绝对值） 有两个结论：1.f=x的绝对值在0处不可导，⽽对于f=x乘x的绝对值在0处可导 2.若f在x0处可导，g在x0处连续但不可导，则f乘g在x0处可导的充要条件是f （x0）=0 3.若f在a可导，则f的绝对值在a处的可导性（详⻅盲点本） 2.可导的判别 可导的必要条件—可导必连续（证明：利⽤导数的定义，连续的定义来证） Note ：当f在x0处可导，则f在x0处连续，但是f在x0的某⼀邻域内不⼀定连续，反例 f=x2乘D （x）（D为狄利克雷函数） 可导的充要条件—导数存在互推左右导数相等 3.导数的⼏何意义——切线⽅程与法线⽅程 微分（4个） 1.微