奥数题型与解题思路1~10讲.pdf

1、最值问题 【最小值问题】 例 1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、 乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途 增加值勤民警， 并规定每相邻的两位民警 （包括原有的民警）之间的距离都相等。 现知甲乙相距 5000 米，乙丙相距 8000 米，丙丁相距 4000 米，那么至少要增加 ______位民警。 （《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题） 讲析：如图 5.91 ，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有 一位民警， 共有 7 位民警。他们将上面的线段分为了 2 个 2500 米，2 个 4000 米， 2 个 2000 米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相 等，这实际上是要求将 2500、4000、2000 分成尽可能长的同样长的小路。 由于 2500、4000、2000 的最大公约数是 500，所以，整段路最少需要的民 警数是（ 5000＋8000＋4000）÷500＋1=35 （名）。 例 2 在一个正方体表面上， 三只蚂蚁分别处在 A、B、C 的位置上，如图 5.92 所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面 最省时？ （湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题） 讲析： 因为三只蚂蚁速度相等， 要想从各自的地点出发会面最省时， 必须三 者同时到达，即各自行的路程相等。 我们可将正方体表面展开，如图 5.93 ，则 A、B、C三点在同一平面上。这 样，便将问题转化为在同一平面内找出一点 O，使 O到这三点的距离相等且最短。 所以，连接 A 和 C，它与正方体的一条棱交于 O；再连接 OB，不难得出 AO=OC=OB。 故， O点即为三只蚂蚁会面之处。 【最大值问题】 例 1 有三条线段 a、b、c，并且 a＜b＜c 。判断：图 5.94 的三个梯形中， 第几个图形面积最大？ （全国第二届“华杯赛”初赛试题） 讲析：三个图的面积分别是： 三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（ a＋b＋c ）的 和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数， 求这两个数为何值时， 乘积最 大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（ a＋b）×c 这组数的值最接近。 故图（ 3 ）的面积最大。 例 2 某商店有一天，估计将进货单价为 90 元的某商品按 100 元售出后，能 卖出 500 个。已知这种商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 10 个。为了使这一 天能赚得更多利润，售价应定为每个 ______元。 （台北市数学竞赛试题） 讲析：因为按每个 100 元出售，能卖出 500 个，每个涨价 1 元，其销量减少 10 个，所以，这种商品按单价 90 元进货，共进了 600 个。 现把 600 个商品按每份 10 个，可分成 60 份。 因每个涨价 1 元，销量就减少 1 份（即 10 个）；相反，每个减价 1 元，销量就增加 1 份。 所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为 60），根据等周长 长方形面积最大原理可知，当把 60 分为两个 30 时，即每个涨价 30 元，卖出 30 份，此时有最大的利润。 因此，每个售价应定