奥数题型与解题思路21~40讲.pdf

21、数字和与最大最小问题 【数字求和】 例 1 100 个连续自然数的和是 8450，取其中第 1 个，第 3 个，第 5 个，………， 第 99 个（所有第奇数个），再把这 50 个数相加，和是 ______。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：第 50、51 两个数的平均数是 8450÷ 100= 84. 5 ，所以，第 50 个数 是 84。则 100 个连续自然数是： 35，36，37，………， 133，134。 上面的一列数分别取第 1、3、5、……、 99 个数得： 35，37，39，…… 131，133。 则这 50 个数的和是： 例 2 把 1 至 100 的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是 _____ 。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析；可把 1 至 100 这一百个自然数分组，得 （1、2、3、……、 9 ），（10、11、12、……、 19），（20、21、22、…… 29 ），……，（ 90、91、92、…… 99），（ 100）。 容易发现前面 10 组中，每组的个位数字之和为 45。而第一组十位上是 0， 第二组十位上是 1，第三组十位上是 2，……第十组十位上是 9，所以全体十位 上的数字和是 （l+2+3+ …… +9）×10=450。故所有数码的和是 45 ×10+450+l=901。 续若干个数字之和是 1992，那么 a=____。 （北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 又， 1992÷27=73 余 21，而 21=8+5+7+1，所以 a=6 。 例 4 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一 个数，用这种方法计算了四次，分别得到四个数： 86，92，100，106。那么，原 来四个数的平均数是 （1993 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中 原来四个数的平均数为（ 86+92+100+106）÷2=192。 【最大数与最小数】 例 1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于 20 的合数，要 使这三个分数的和尽可能大 , 这三个分数是 （全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题）。 讲析： 20 以内的质数有： 2 、 3 、 5 、 7 、 11 、 13 、 17 、 19 要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真 例 2 将 1、2、3、4 、5、6、7、8 这八个数分成三组，分别计算各组数的和。 已知这三个和互不相等，且最大的和是最小和的 2 倍。问：最小的和是多少？ （全国第三届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析；因为 1+2+3+……+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的 例 3 把 20 以内的质数分别填入□中（每个质数只用一次）： 使 A 是整数。 A 最大是多少？ （第五届《从小爱数学》邀请赛试题） 讲析：要使 A 最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大。 分母分别取 2、3、5 时，A 都不能为整数。当分母取 7 时， 例 4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是 1，最大的数是 25。除 1 之 外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的 2 倍，或者等于这组数中 某两个数之和。 问：这组数之和的最大值是多少？当这组数之和有最小值时，