八年级轴对称与对称轴提高压轴题.pdfVIP

轴对称压轴题 1．问题背景： 如图（ a），点 A 、B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关 于 l 的对称点 B ′，连接 A B ′与直线 l 交于点 C ，则点 C 即为所求． （1）实践运用： 如图（ b），已知，⊙O 的直径 CD 为 4，点 A 在⊙O 上，∠ACD=30 °， B 为弧 AD 的中点， P 为直径 CD 上一动点， 则 BP+AP 的最小值为 _________ ． （2 ）知识拓展： 如图（ c），在 Rt△ABC 中，AB=10 ，∠BAC=45 °，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，E 、F 分别是线段 AD 和 AB 上的动 点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程． 2．（1）观察发现 如图（ 1）：若点 A 、B 在直线 m 同侧，在直线 m 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小，做法如下： 作点 B 关于直线 m 的对称点 B ′，连接 AB ′，与直线 m 的交点就是所求的点 P，线段 AB ′的长度即为 AP+BP 的最小值． 如图（ 2）：在等边三角形 ABC 中，AB=2 ，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值 最小，做法如下： 作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值 为 _________ ． （2 ）实践运用 如图（ 3）：已知⊙O 的直径 CD 为 2， 的度数为 60°，点 B 是 的中点，在直径 CD 上作出点 P，使 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为 _________ ． （3）拓展延伸 如图（ 4 ）：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边 AB 、BC 上作出点 M ，点 N ，使 PM+PN+MN 的值最小，保留 作图痕迹，不写作法． 如图（ 1），要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A 、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？ 你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道 l 看成一条直线（图（ 2 ）），问题就转化 为，要在直线 l 上找一点 P，使 AP 与 BP 的和最小．他的做法是这样的： ①作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′． ②连接 AB ′交直线 l 于点 P，则点 P 为所求． 请你参考小华的做法解决下列问题．如图在 △ABC 中，点 D 、E 分别是 AB 、AC 边的中点， BC=6 ，BC 边上的高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P，使 △PDE 得周长最小． （1）在图中作出点 P （保留作图痕迹，不写作法） ． （2 ）请直接写出 △PDE 周长的最小值： _________ ． 4 ．（1）观察发现： 如（ a）图，若点 A ，B 在直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小． 做法如下：作点 B 关于直线 l 的对称点 B ，连接 AB ，与直线 l 的交点就是所求的点 P．再如（ b）图，在等边三角 形 ABC 中，AB=2 ，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小． 做法如下： 作点 B 关于 AD 的对称点， 恰好与点 C 重合， 连接 CE 交 AD 于一点， 则这点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为 _________ ． （2 ）实践运用： 如（ c）图，已知⊙ O 的直径 CD 为 4，∠AOD 的度数为 60°，点 B 是 的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值． （3）拓展延伸： 如（ d）图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P，使∠APB= ∠APD ．保留作图痕迹，不