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一只装有水的圆柱形玻璃杯,底面积是80平方厘米,水深8厘米。现将一个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后,仍有一部分铁块露在外面。现在的水深多少厘米? 解法一: 80×8÷(80-16) =640 ÷64 =10(厘米) 解法二:设水面上升x厘米。 80x=16×(8+x) 80x=128+16x 64x=128 x=2 8+2=10(厘米) 例4: 4 、渗透归纳思想 研究一般性问题时,在观察和实验的基础上,归纳出由特殊现象到一般现象的规律和性质,这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。 C长方形 C正方形 C圆 h h h C三角形 h …… …… S侧=Ch 直柱体侧面积 直柱体表面积 =侧面积+2倍底面积 直柱体侧面积和表面积 V=abh V=a3 V=sh V=sh 直柱体 …… 直柱体体积 五、解决小学几何知识的典型题目 1.正方形与圆 2.最大与最小 3.正方体所有可能的截面类型 4.立体图形的切割与拼合 5 .杂题 圆的半径扩大(或缩小)a倍,直径和周长也随着扩大(或缩小)a倍,而圆的面积则扩大(或缩小)a2倍。 圆的半径与直径、周长成正比例,半径与面积不成比例。 正方形的边长扩大(或缩小)a倍,周长也扩大(或缩小)a倍,而面积扩大(或缩小)a2倍。 正方形边长与周长成正比例,边长与面积不成比例。 1.正方形与圆 S圆= S正方形 S正方形= S圆 S圆= S正方形 S正方形= S圆 S圆= S正方形 S正方形= S圆 图解: 独立思考,认真观察,下面图形中哪个阴影部分的面积大?(每个正方形边长相等) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2.最大与最小 40cm 20cm 指定深度为5厘米 例1:下图是一张长40厘米,宽20厘米的长方形铁板,要把这张铁板焊一个深5厘米的盒子(无盖),让这个长方形铁盒的容积有三种大小不同的规格,应该怎样设计与使用这块铁板? 容积最大 …… 解:20×20×5 =2000(平方厘米) 解:30×10×5 =1500(平方厘米) 解:35×10×5 =1750(平方厘米) 分析与解: 甲圆柱的底面半径为5厘米,高10厘米。乙圆柱底面半径10厘米,高5厘米。这两个圆柱的表面积谁大?大的表面积是小的表面积的多少倍? 解法一:利用所给条件分别求出两个 圆柱的表面积,再求倍数关系。 5 10 5 10 甲 乙 解法二:S甲表:S乙表 =2 r甲( h甲+ r甲): 2 r乙( h乙+ r乙) = r甲( h甲+ r甲) : r乙( h乙+ r乙) =r甲: r乙 = 5 :10 =1 : 2 例2 截面面积最小 12 24 4 12 24 4 截面面积最大 12 24 4 12 24 4 (单位:厘米) 长方体垂直于长、宽、高的截面 例3:要把3本长20厘米、宽12厘米、高6厘米的《现代汉语词典》包装起来,至少要准备多少平方厘米的包装纸?(重合处不计) 分析:只要使长方体物体最大的面重合,就能使包装纸的表 面积最小。 ① 用3个长方体的表面积总和减去4个重合面面积。 (20×12+20×6+12×6)×2×3-20×12×4 ② 20×12×2+(20×6+12×6)×2×3 正方体的截面中,不可能出现直角三角形、钝角三角形,可能出现锐角三角形、等边或等腰三角形 3.正方体所有可能的截面类型 可能出现正方形、矩形 不可能出现非矩形的平行四边形及直角梯形,可能出现等腰梯形 可能出现五边形,不可能出现正五边形 可能出现正六边形及六边形 不可能出现七边形及多于七边的多边形 研究者——北大附中学生:王明天 陆程遂 长方形 正方形 圆 椭圆 4.立体图形的切割 三角形 圆 柱 长方体 圆锥 圆 截成圆锥和圆台 6 把两个底面半径2厘米,高10厘米的圆柱拼成一个大圆柱,表面积增加了多少平方厘米? 将一个底面直径12厘米,高4厘米的圆柱形木料沿底面直径和高,从上到下劈成相等的两块(如图),每块木料的表面积是多少平方厘米? 6 2 将一块圆柱形状的木料如下图劈开,拼成了一个近似的长方体。这个近似长方体的表面积是多少平方分米? 立体图形的切拼实例 从一个棱长10厘米的正方体木块上截去一个棱长2厘米的小正方体,剩下的表面积是多少平方厘米? 正方体切割 表面积不变 10
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