实数的完备性：Cauchy收敛定理.ppt

§4 实数的完备性： Cauchy收敛定理 一、柯西基本列 定义5.1 或叙述为 例1. 证明： 例2. 证明： 所以不是基本列 二、列紧性定理 定理5.1 任意有界数列中必可造出收敛子列. 证明： （二分法：） 由闭区间套定理和夹逼定理： ● 三、柯西收敛准则 定理5.2： 证明： 由例1： 由例2： 注：Cauchy收敛准则是判断数列收敛的重要方法 例3：若数列满足下面情况，判断是否收敛 　解： (1)不一定，例如例2中 (2)结论成立，证明如下 定义6.1： （1） （2） 设Ｅ是非空有下界集合， 四、确界的定义 定义6.2： （1） （2） 设Ｅ是非空有上界集合， 五、确界原理 定理1: 非空有上界的数集必有上确界; 非空有下界的数集必有下确界. 证明： 此区间套特点： 由区间套定理， Ⅰ. Ⅱ. 上界 证明： 例4. * * 六、覆盖 * * 定理1.7.1 则必可从中选出有限个开区间来覆盖 证明： 反证法 * * * * 矛盾！ * * 单调有 界定理 确 界 定 理 闭区间 套定理 有限覆 盖定理 列紧性 定 理 Cauchy 收敛定理 七、实数系统六定理等价性 八、小结 2、列紧性定理 3、柯西基本定理 1、柯西基本列 4、确界原理 5、有限覆盖定理 6、实数系定理等价性 习题1.5 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 习题1.8 2, 3, * 法国数学家。1871年1月7日生于阿韦龙省圣阿弗里克，1956年2月3日卒于巴黎。1893年毕业后在里尔大学任教。1894年获博士学位。1896年回巴黎高等师范学校任教。1909年任巴黎大学理学院函数论教授。第一次世界大战期间，配合他的老朋友、数学家和政治家P.班勒卫组织为战事服务的科学研究。战后改任概率及数学物理学教授。1920年随班勒卫来中国进行学术交流。1921年当选为法国科学院院士，此后他积极从事政治、社会活动，当过市长、地方议员、海军部长，还参加筹建国家科学研究中心，1928年协助建立庞加莱研究所，并任所长直至去世。波莱尔的主要工作是提出有限覆盖定理，并把测度从有限区间推广到波莱尔可测集上，建立起测度论基础。同时他还研究整函数以及发散级数。其中《发散级数论》（1899）获得法国科学院大奖。20世纪初，他把概率论同测度论结合起来，1909年引进可数事件集的概率，填补了古典有限概率和几何概率之间的空白。德国数学家。海涅在数学分析及应用数学方面有较大的成就，他阐述了一致收敛的概念，证明了连续函数的一致收敛定理。他在证明函数的一致连续性时，利用了闭区间具有有限开复盖的性质，较早地掌握了复盖定理的意义。因此，这个定理后来称为海涅一波菜尔复盖定理。 * 法国数学家。1871年1月7日生于阿韦龙省圣阿弗里克，1956年2月3日卒于巴黎。1893年毕业后在里尔大学任教。1894年获博士学位。1896年回巴黎高等师范学校任教。1909年任巴黎大学理学院函数论教授。第一次世界大战期间，配合他的老朋友、数学家和政治家P.班勒卫组织为战事服务的科学研究。战后改任概率及数学物理学教授。1920年随班勒卫来中国进行学术交流。1921年当选为法国科学院院士，此后他积极从事政治、社会活动，当过市长、地方议员、海军部长，还参加筹建国家科学研究中心，1928年协助建立庞加莱研究所，并任所长直至去世。波莱尔的主要工作是提出有限覆盖定理，并把测度从有限区间推广到波莱尔可测集上，建立起测度论基础。同时他还研究整函数以及发散级数。其中《发散级数论》（1899）获得法国科学院大奖。20世纪初，他把概率论同测度论结合起来，1909年引进可数事件集的概率，填补了古典有限概率和几何概率之间的空白。德国数学家。海涅在数学分析及应用数学方面有较大的成就，他阐述了一致收敛的概念，证明了连续函数的一致收敛定理。他在证明函数的一致连续性时，利用了闭区间具有有限开复盖的性质，较早地掌握了复盖定理的意义。因此，这个定理后来称为海涅一波菜尔复盖定理。